Номер 202, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Квадратичная функция - номер 202, страница 68.

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 6 см, а боковая сторона — 5 см. Концы подвижного отрезка, параллельного основанию, лежат на боковых сторонах. Его длина равна $y$ (см), а расстояние от вершины — $x$ (см). Задайте формулой $y$ как функцию от $x$. Найдите область значений этой функции.

Для решения задачи сначала найдем высоту равнобедренного треугольника $ABC$, проведенную к основанию. Пусть $BH$ — высота, опущенная из вершины $B$ на основание $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому точка $H$ — середина $AC$.

Следовательно, $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Гипотенуза $BC = 5$ см, катет $HC = 3$ см. По теореме Пифагора найдем катет $BH$:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$BH^2 + 3^2 = 5^2$

$BH^2 + 9 = 25$

$BH^2 = 25 - 9 = 16$

$BH = \sqrt{16} = 4$ см.

Задайте формулой y как функцию от x.

Пусть $DE$ — подвижный отрезок, параллельный основанию $AC$. Его длина равна $y$. Расстояние от вершины $B$ до этого отрезка равно $x$. Это расстояние измеряется вдоль высоты $BH$. Пусть $K$ — точка пересечения $BH$ и $DE$. Таким образом, $BK = x$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBE$. Так как $DE \parallel AC$, то треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle B$ — общий, $\angle BDE = \angle BAC$ как соответственные).

В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно отношению высот, проведенных к этим сторонам.

$\frac{DE}{AC} = \frac{BK}{BH}$

Подставляем известные значения: $DE=y$, $AC=6$, $BK=x$, $BH=4$.

$\frac{y}{6} = \frac{x}{4}$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить искомую функцию:

$y = \frac{6}{4}x$

$y = \frac{3}{2}x$ или $y = 1.5x$.

Ответ: $y = 1.5x$.

Найдите область значений этой функции.

Область значений функции — это множество всех возможных значений, которые может принимать переменная $y$. Эти значения зависят от возможных значений переменной $x$.

Переменная $x$ представляет собой расстояние от вершины $B$ до отрезка $DE$. Минимальное значение $x$ равно 0, что соответствует случаю, когда отрезок $DE$ находится в самой вершине $B$ (и его длина $y$ равна 0). Максимальное значение $x$ достигается, когда отрезок $DE$ совпадает с основанием $AC$. В этом случае расстояние $x$ равно высоте треугольника $BH$, то есть $x = 4$.

Таким образом, область определения для $x$ — это отрезок $[0, 4]$.

Чтобы найти область значений для $y$, подставим в полученную формулу $y = 1.5x$ крайние значения $x$:

При $x_{min} = 0$: $y = 1.5 \cdot 0 = 0$.

При $x_{max} = 4$: $y = 1.5 \cdot 4 = 6$.

Так как функция $y(x)$ является линейной и непрерывной на отрезке $[0, 4]$, она принимает все значения между $y_{min}=0$ и $y_{max}=6$.

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[0, 6]$.

Ответ: $[0, 6]$.