Номер 197, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

197. Сократите дробь:

а) $\frac{3 + 3^\frac{1}{2}}{3^\frac{1}{2}}$;

б) $\frac{10}{10 - 10^\frac{1}{2}}$;

в) $\frac{x - y}{x^\frac{1}{2} + y^\frac{1}{2}}$;

г) $\frac{b^\frac{1}{2} - 5}{b - 25}$;

д) $\frac{c + 2c^\frac{1}{2}d^\frac{1}{2} + d}{c - d}$;

е) $\frac{m + n}{m^\frac{2}{3} - m^\frac{1}{3}n^\frac{1}{3} + n^\frac{2}{3}}$.

а) Исходная дробь: $ \frac{3 + 3^{\frac{1}{2}}}{3^{-\frac{1}{2}}} $.
Знаменатель $ 3^{-\frac{1}{2}} $ можно записать как $ \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь (перевернутую). $$ \frac{3 + 3^{\frac{1}{2}}}{3^{-\frac{1}{2}}} = (3 + 3^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}} $$ Теперь раскроем скобки, умножив каждый член на $ 3^{\frac{1}{2}} $: $$ 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} $$ Используем свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $: $$ 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + (3^{\frac{1}{2}})^2 = 3^{1+\frac{1}{2}} + 3^1 = 3^{\frac{3}{2}} + 3 $$ Выражение $ 3^{\frac{3}{2}} $ можно записать как $ 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} $ или $ 3\sqrt{3} $. Следовательно, результат: $ 3\sqrt{3} + 3 $.

Ответ: $3\sqrt{3} + 3$

б) Исходная дробь: $ \frac{10}{10 - 10^{\frac{1}{2}}} $.
Перепишем $ 10^{\frac{1}{2}} $ как $ \sqrt{10} $: $ \frac{10}{10 - \sqrt{10}} $.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ 10 + \sqrt{10} $: $$ \frac{10}{10 - \sqrt{10}} \cdot \frac{10 + \sqrt{10}}{10 + \sqrt{10}} = \frac{10(10 + \sqrt{10})}{(10 - \sqrt{10})(10 + \sqrt{10})} $$ В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $: $$ (10)^2 - (\sqrt{10})^2 = 100 - 10 = 90 $$ Теперь подставим это значение обратно в дробь: $$ \frac{10(10 + \sqrt{10})}{90} $$ Сократим дробь на 10: $$ \frac{10 + \sqrt{10}}{9} $$

Ответ: $\frac{10 + \sqrt{10}}{9}$

в) Исходная дробь: $ \frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} $.
Представим числитель $ x - y $ как разность квадратов. Для этого заметим, что $ x = (x^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ y = (y^{\frac{1}{2}})^2 $. $$ x - y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 $$ Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $: $$ (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) $$ Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $$ \frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} $$ Сократим общий множитель $ (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) $ в числителе и знаменателе: $$ x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} $$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

г) Исходная дробь: $ \frac{b^{\frac{1}{2}} - 5}{b - 25} $.
Представим знаменатель $ b - 25 $ как разность квадратов. Заметим, что $ b = (b^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ 25 = 5^2 $. $$ b - 25 = (b^{\frac{1}{2}})^2 - 5^2 $$ Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $: $$ (b^{\frac{1}{2}} - 5)(b^{\frac{1}{2}} + 5) $$ Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь: $$ \frac{b^{\frac{1}{2}} - 5}{(b^{\frac{1}{2}} - 5)(b^{\frac{1}{2}} + 5)} $$ Сократим общий множитель $ (b^{\frac{1}{2}} - 5) $ в числителе и знаменателе: $$ \frac{1}{b^{\frac{1}{2}} + 5} $$

Ответ: $\frac{1}{b^{\frac{1}{2}} + 5}$

д) Исходная дробь: $ \frac{c + 2c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c - d} $.
Числитель $ c + 2c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d $ является полным квадратом. Заметим, что $ c = (c^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ d = (d^{\frac{1}{2}})^2 $. Тогда числитель можно записать как: $$ (c^{\frac{1}{2}})^2 + 2c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + (d^{\frac{1}{2}})^2 $$ Это соответствует формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $, где $ a = c^{\frac{1}{2}} $ и $ b = d^{\frac{1}{2}} $. $$ (c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}})^2 $$ Знаменатель $ c - d $ является разностью квадратов: $$ c - d = (c^{\frac{1}{2}})^2 - (d^{\frac{1}{2}})^2 = (c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}}) $$ Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $$ \frac{(c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}})^2}{(c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}})} $$ Сократим общий множитель $ (c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}}) $: $$ \frac{c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}} $$

Ответ: $\frac{c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}}$

е) Исходная дробь: $ \frac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} $.
Это выражение похоже на формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $.
Сделаем замену: пусть $ a = m^{\frac{1}{3}} $ и $ b = n^{\frac{1}{3}} $.
Тогда $ a^3 = (m^{\frac{1}{3}})^3 = m $ и $ b^3 = (n^{\frac{1}{3}})^3 = n $. Числитель дроби равен $ m + n = a^3 + b^3 $.
Знаменатель дроби: $$ m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}} = (m^{\frac{1}{3}})^2 - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + (n^{\frac{1}{3}})^2 = a^2 - ab + b^2 $$ Знаменатель является неполным квадратом разности. Подставим замену в исходную дробь: $$ \frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} $$ Используя формулу суммы кубов для числителя, получаем: $$ \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2} $$ Сокращаем общий множитель $ (a^2 - ab + b^2) $: $$ a+b $$ Теперь выполним обратную замену: $$ m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}} $$

Ответ: $m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}$