Номер 193, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

193. Представьте в виде степени с рациональным показателем:

а) $c^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{3}};$

б) $b^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}};$

в) $a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{6}};$

г) $d^5 d^{\frac{1}{2}};$

д) $x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}};$

е) $y^{\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}};$

ж) $z^5 : z^{-\frac{1}{2}};$

з) $m^{\frac{1}{3}} : m^2;$

и) $(b^2)^{\frac{1}{3}};$

к) $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{9}};$

л) $(c^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}};$

м) $(p^3)^{-\frac{2}{9}}.$

а) Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Применяем это правило к выражению $c^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{3}}$:
$c^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{3}} = c^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
Таким образом, получаем:
$c^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = c^{\frac{5}{6}}$
Ответ: $c^{\frac{5}{6}}$

б) Используем то же правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Для выражения $b^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}$ имеем:
$b^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} = b^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}$
Приводим показатели к общему знаменателю 6:
$-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$
Следовательно:
$b^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{6}}$
Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

в) Снова применяем правило умножения степеней: $a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{6}}$.
Приводим дроби в показателе к общему знаменателю 6:
$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
Результат:
$a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$
Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$

г) Помним, что целое число можно представить в виде степени с показателем 1, но в данном случае $d^5$ уже является степенью. Применяем правило умножения степеней, где $d^5 = d^{\frac{5}{1}}$.
$d^5d^{\frac{1}{2}} = d^{5 + \frac{1}{2}}$
Складываем показатели:
$5 + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} + \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$
Таким образом:
$d^{5 + \frac{1}{2}} = d^{\frac{11}{2}}$
Ответ: $d^{\frac{11}{2}}$

д) Для деления степеней с одинаковым основанием используется правило $a^m : a^n = a^{m-n}$, согласно которому из показателя делимого вычитается показатель делителя.
Применяем это правило к выражению $x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}}$:
$x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} = x^{-\frac{2}{2}} = x^{-1}$
Ответ: $x^{-1}$

е) Используем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Для выражения $y^{\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}}$ имеем:
$y^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}}$
Приводим показатели к общему знаменателю 6:
$\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Следовательно:
$y^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} = y^{\frac{1}{2}}$
Ответ: $y^{\frac{1}{2}}$

ж) Применяем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Для выражения $z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}}$ получаем:
$z^{\frac{1}{5} - (-\frac{1}{2})} = z^{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}}$
Приводим показатели к общему знаменателю 10:
$\frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{7}{10}$
В результате:
$z^{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}} = z^{\frac{7}{10}}$
Ответ: $z^{\frac{7}{10}}$

з) Применяем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, где $m^2 = m^{\frac{2}{1}}$.
$m^{\frac{1}{3}} : m^2 = m^{\frac{1}{3} - 2}$
Вычитаем показатели:
$\frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{5}{3}$
Получаем:
$m^{\frac{1}{3} - 2} = m^{-\frac{5}{3}}$
Ответ: $m^{-\frac{5}{3}}$

и) При возведении степени в степень их показатели перемножаются по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Применяем правило к выражению $(b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$:
$b^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{6}}$
Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

к) Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Для выражения $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{9}}$ имеем:
$a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9}}$
Перемножаем показатели:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$
Результат:
$a^{\frac{2}{3}}$
Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$

л) Снова применяем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Для выражения $(c^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$ получаем:
$c^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = c^{-\frac{1}{6}}$
Ответ: $c^{-\frac{1}{6}}$

м) Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Для выражения $(p^3)^{-\frac{2}{9}}$ получаем:
$p^{3 \cdot (-\frac{2}{9})}$
Перемножаем показатели:
$3 \cdot (-\frac{2}{9}) = -\frac{3 \cdot 2}{9} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$
Результат:
$p^{-\frac{2}{3}}$
Ответ: $p^{-\frac{2}{3}}$