Номер 189, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

189. Постройте график функции $g(x) = \frac{6}{|x - 2|}$.

Решите уравнение:

a) $g(x) = 3;$

б) $g(x) = 6;$

в) $g(x) = -2.$

Для построения графика функции $g(x) = \frac{6}{|x-2|}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x-2| \neq 0$, что означает $x \neq 2$. Область определения функции: $D(g) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Область значений. Числитель дроби — положительное число 6. Знаменатель $|x-2|$ — неотрицательное число. В области определения функции знаменатель строго положителен. Следовательно, $g(x) > 0$ для всех $x \in D(g)$. График функции полностью расположен в верхней полуплоскости.

3. Построение. График функции можно получить из графика функции $y = \frac{6}{x}$ (стандартная гипербола) с помощью преобразований:

• Сначала строим график $y_1 = \frac{6}{x-2}$. Это график $y = \frac{6}{x}$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота смещается в $x=2$.
• Затем строим график $g(x) = \frac{6}{|x-2|} = |\frac{6}{x-2}|$. Для этого часть графика $y_1$, которая находится ниже оси Ox (при $x < 2$), симметрично отражается относительно оси Ox вверх. Часть графика, которая уже находится выше оси Ox (при $x > 2$), остается без изменений.

В итоге график состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=2$. Горизонтальной асимптотой для обеих ветвей является ось Ox ($y=0$).

Вычислим координаты нескольких контрольных точек:
При $x=3, g(3) = \frac{6}{|3-2|} = 6$.
При $x=4, g(4) = \frac{6}{|4-2|} = 3$.
При $x=8, g(8) = \frac{6}{|8-2|} = 1$.
В силу симметрии относительно прямой $x=2$:
При $x=1, g(1) = \frac{6}{|1-2|} = 6$.
При $x=0, g(0) = \frac{6}{|0-2|} = 3$.
При $x=-4, g(-4) = \frac{6}{|-4-2|} = 1$.

Решите уравнение:

а) $g(x) = 3$
$\frac{6}{|x-2|} = 3$
Поскольку $x \neq 2$, можно умножить обе части на $|x-2|$:
$6 = 3 \cdot |x-2|$
$|x-2| = 2$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $x-2 = 2 \implies x = 4$.
2) $x-2 = -2 \implies x = 0$.
Ответ: 0; 4.

б) $g(x) = 6$
$\frac{6}{|x-2|} = 6$
$|x-2| = 1$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $x-2 = 1 \implies x = 3$.
2) $x-2 = -1 \implies x = 1$.
Ответ: 1; 3.

в) $g(x) = -2$
$\frac{6}{|x-2|} = -2$
Как было установлено при анализе функции, $g(x)$ принимает только положительные значения ($g(x)>0$) для всех $x$ из области определения. Поэтому левая часть уравнения всегда положительна, а правая — отрицательна. Равенство невозможно.
Ответ: нет решений.