Номер 183, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

183. Покажите схематически, как расположен график функции $y = \frac{k}{x-m} + n$, где $k < 0$, если:

а) $m > 0, n < 0$;

б) $m < 0, n > 0$.

График функции $y = \frac{k}{x-m} + n$ представляет собой гиперболу. Этот график получается из графика базовой функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига).

Параметр $m$ отвечает за сдвиг по горизонтали. Вертикальная асимптота графика смещается в положение $x = m$.

Параметр $n$ отвечает за сдвиг по вертикали. Горизонтальная асимптота графика смещается в положение $y = n$.

Параметр $k$ определяет, в каких четвертях относительно новых асимптот располагаются ветви гиперболы. По условию задачи $k < 0$, это означает, что ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами $x=m$ и $y=n$.

а) $m > 0, n < 0$

1. Определим положение асимптот.
Вертикальная асимптота: $x = m$. Поскольку $m > 0$, эта прямая проходит правее оси ординат (оси Oy).
Горизонтальная асимптота: $y = n$. Поскольку $n < 0$, эта прямая проходит ниже оси абсцисс (оси Ox).

2. Определим расположение ветвей гиперболы.
Так как $k < 0$, ветви располагаются во второй и четвертой "новых" четвертях, которые образованы пересечением асимптот $x=m$ и $y=n$.

• Первая ветвь (во второй "новой" четверти) расположена в области $x < m$ и $y > n$. Она находится слева от вертикальной асимптоты и выше горизонтальной. Эта ветвь будет пересекать как ось Ox, так и ось Oy.
• Вторая ветвь (в четвертой "новой" четверти) расположена в области $x > m$ и $y < n$. Она находится справа от вертикальной асимптоты и ниже горизонтальной. Эта ветвь целиком располагается в IV координатной четверти.

Схематичное изображение графика:

Ответ: Асимптоты графика — прямая $x=m$, расположенная правее оси Oy, и прямая $y=n$, расположенная ниже оси Ox. Одна ветвь гиперболы находится в I, II и III координатных четвертях (слева от $x=m$ и выше $y=n$). Вторая ветвь полностью находится в IV координатной четверти (справа от $x=m$ и ниже $y=n$).

б) $m < 0, n > 0$

1. Определим положение асимптот.
Вертикальная асимптота: $x = m$. Поскольку $m < 0$, эта прямая проходит левее оси ординат (оси Oy).
Горизонтальная асимптота: $y = n$. Поскольку $n > 0$, эта прямая проходит выше оси абсцисс (оси Ox).

2. Определим расположение ветвей гиперболы.
Так как $k < 0$, ветви располагаются во второй и четвертой "новых" четвертях, которые образованы пересечением асимптот $x=m$ и $y=n$.

• Первая ветвь (во второй "новой" четверти) расположена в области $x < m$ и $y > n$. Она находится слева от вертикальной асимптоты и выше горизонтальной. Эта ветвь целиком располагается во II координатной четверти.
• Вторая ветвь (в четвертой "новой" четверти) расположена в области $x > m$ и $y < n$. Она находится справа от вертикальной асимптоты и ниже горизонтальной. Эта ветвь будет пересекать как ось Ox, так и ось Oy.

Схематичное изображение графика:

Ответ: Асимптоты графика — прямая $x=m$, расположенная левее оси Oy, и прямая $y=n$, расположенная выше оси Ox. Одна ветвь гиперболы полностью находится во II координатной четверти (слева от $x=m$ и выше $y=n$). Вторая ветвь находится в I, IV и III координатных четвертях (справа от $x=m$ и ниже $y=n$).