Номер 185, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

185. Укажите функции, графиками которых являются гиперболы.

1. $y = \frac{15}{x-3}$

2. $y = \frac{8x-5}{25}$

3. $y = \frac{37+x}{37-x}$

4. $y = \frac{8x-40}{5x-25}$

Графиком функции является гипербола, если функция может быть представлена в виде $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k \neq 0$. Этот вид функции называется дробно-линейной. В общем виде она записывается как $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Для того чтобы график такой функции был гиперболой, должны выполняться два условия: $c \neq 0$ (иначе функция будет линейной) и $ad-bc \neq 0$ (иначе функция будет постоянной, возможно, с выколотой точкой).

Проанализируем каждую из предложенных функций:

1. $y = \frac{15}{x-3}$

Эта функция уже представлена в каноническом виде $y = \frac{k}{x-a} + b$. Здесь $k=15$, $a=3$, $b=0$. Поскольку коэффициент $k=15 \neq 0$, график этой функции является гиперболой.

Ответ: является гиперболой.

2. $y = \frac{8x-5}{25}$

Преобразуем выражение, разделив числитель на знаменатель почленно: $y = \frac{8x}{25} - \frac{5}{25}$, что равносильно $y = \frac{8}{25}x - \frac{1}{5}$. Это уравнение вида $y=mx+c$, которое задает линейную функцию. Ее графиком является прямая линия, а не гипербола.

Ответ: не является гиперболой.

3. $y = \frac{37+x}{37-x}$

Это дробно-линейная функция вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Перепишем ее в стандартном виде: $y = \frac{x+37}{-x+37}$. Здесь $a=1$, $b=37$, $c=-1$, $d=37$. Проверим условия для гиперболы:

1. $c = -1 \neq 0$.

2. $ad-bc = 1 \cdot 37 - 37 \cdot (-1) = 37 + 37 = 74 \neq 0$.

Оба условия выполняются, следовательно, график данной функции — гипербола. Для наглядности можно выделить целую часть:

$y = \frac{x+37}{-(x-37)} = -\frac{x-37+74}{x-37} = -(\frac{x-37}{x-37} + \frac{74}{x-37}) = -(1 + \frac{74}{x-37}) = -1 - \frac{74}{x-37}$.

Функция приведена к виду $y = \frac{k}{x-a} + b$ с $k=-74$, $a=37$ и $b=-1$.

Ответ: является гиперболой.

4. $y = \frac{8x-40}{5x-25}$

Это дробно-линейная функция вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $a=8$, $b=-40$, $c=5$, $d=-25$. Проверим условие $ad-bc \neq 0$:

$ad-bc = 8 \cdot (-25) - (-40) \cdot 5 = -200 + 200 = 0$.

Поскольку $ad-bc = 0$, график этой функции не является гиперболой. Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе и знаменателе:

$y = \frac{8(x-5)}{5(x-5)}$.

При $x \neq 5$ дробь можно сократить, и функция принимает вид $y = \frac{8}{5}$. Ее график — это горизонтальная прямая с выколотой точкой при $x=5$.

Ответ: не является гиперболой.

Таким образом, функции, графиками которых являются гиперболы, это функции, указанные в пунктах 1 и 3.