Номер 4, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

4 Дайте определение корня $n$-й степени.

Общее определение
Корнем n-й степени из числа $a$ (где $n$ — натуральное число и $n \ge 2$) называется такое число $x$, которое при возведении в степень $n$ дает в результате число $a$.
Математически это можно записать следующим образом: $\sqrt[n]{a} = x$, что равносильно равенству $x^n = a$.
В выражении $\sqrt[n]{a}$:
• $a$ называется подкоренным выражением.
• $n$ называется показателем корня.

Существование и количество корней в множестве действительных чисел зависит от четности показателя корня $n$ и знака подкоренного выражения $a$.

Корень четной степени (когда $n$ — четное число)
Пусть $n = 2k$, где $k$ — натуральное число (например, $\sqrt{a}$, $\sqrt[4]{a}$, $\sqrt[6]{a}$ и т.д.).
• Если подкоренное выражение отрицательно ($a < 0$), то корень четной степени в множестве действительных чисел не существует, так как любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным. Например, выражение $\sqrt[4]{-16}$ не имеет смысла в действительных числах.
• Если $a = 0$, то корень равен нулю: $\sqrt[n]{0} = 0$.
• Если $a > 0$, то существуют два действительных корня, которые являются противоположными числами. Например, для уравнения $x^4 = 81$ корнями являются числа $3$ и $-3$.
Для устранения неоднозначности вводится понятие арифметического корня. Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$. По умолчанию знак $\sqrt[n]{a}$ (при четном $n$ и $a \ge 0$) обозначает именно арифметический (неотрицательный) корень. Таким образом, $\sqrt[4]{81} = 3$.

Корень нечетной степени (когда $n$ — нечетное число)
Пусть $n = 2k+1$, где $k$ — натуральное число (например, $\sqrt[3]{a}$, $\sqrt[5]{a}$, $\sqrt[7]{a}$ и т.д.).
Корень нечетной степени существует и является единственным для любого действительного числа $a$.
• Знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.
• Например, $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.
• Например, $\sqrt[5]{-32} = -2$, так как $(-2)^5 = -32$.
• Например, $\sqrt[3]{0} = 0$.

Ответ: Корнем $n$-й степени из числа $a$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называется число $x$, такое, что его $n$-я степень равна $a$, то есть $x^n = a$.