Номер 2, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2 Сформулируйте свойства степенной функции с чётным показателем. Покажите схематически, как выглядит график этой функции.

Свойства степенной функции с чётным показателем

Степенная функция с чётным натуральным показателем — это функция вида $y = x^{2n}$, где $n$ — натуральное число ($n \in N$). Примерами таких функций являются $y=x^2$, $y=x^4$, $y=x^6$ и так далее. Основные свойства этих функций совпадают.

• Область определения: функция определена для любых действительных значений аргумента. $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.
• Область значений: так как любое число, возведенное в чётную степень, является неотрицательным, область значений функции — все неотрицательные числа. $E(f) = [0; +\infty)$ или $y \ge 0$.
• Чётность: функция является чётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = (-x)^{2n} = x^{2n} = f(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Нули функции: функция обращается в ноль только в одной точке. $y = 0$ при $x = 0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения на всей области определения, кроме точки $x=0$. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Монотонность:
  • функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$;
  • функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x = 0$ функция достигает своего минимального значения. $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума. Максимума у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Степенная функция с чётным показателем $y=x^{2n}$ ($n \in N$) определена для всех $x \in \mathbb{R}$, принимает только неотрицательные значения ($y \ge 0$), является чётной (график симметричен относительно оси Oy), убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка $(0,0)$ является точкой минимума.

Схематический график степенной функции с чётным показателем

График степенной функции с чётным показателем $2n$ — это кривая, которую часто называют параболой порядка $2n$. Она имеет следующие характерные черты:

• График симметричен относительно оси Oy.
• График проходит через начало координат $(0, 0)$, которое является вершиной кривой и точкой минимума.
• График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
• Ветви графика направлены вверх и расположены в I и II координатных четвертях.
• С увеличением показателя $n$ (например, при переходе от $y=x^2$ к $y=x^4$), кривая становится более "плоской" вблизи нуля (на интервале $(-1, 1)$) и растёт "круче" при $|x| > 1$.

Ниже представлен схематический вид графика функции $y=x^{2n}$.

Ответ: График степенной функции с чётным показателем представляет собой кривую, симметричную относительно оси ординат, проходящую через начало координат, где у неё находится точка минимума. Ветви графика направлены вверх и расположены в I и II координатных четвертях.