Номер 182, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

182. Найдите асимптоты гиперболы:

a) $y = \frac{x+8}{x-2}$;

б) $y = -\frac{x-8}{x+3}$.

а) $y = \frac{x + 8}{x - 2}$

Данная функция является дробно-рациональной, её график — гипербола. Асимптоты такой функции — это прямые, к которым неограниченно приближается график функции при стремлении аргумента к определенному значению или к бесконечности.

1. Вертикальная асимптота. Вертикальная асимптота существует в точке, где знаменатель дроби обращается в ноль, а числитель при этом отличен от нуля. Эта точка является точкой разрыва функции. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти уравнение вертикальной асимптоты:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Проверим значение числителя при $x = 2$: $2 + 8 = 10 \neq 0$. Следовательно, прямая $x = 2$ является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальная асимптота. Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при $x$, стремящемся к бесконечности ($x \to \pm\infty$). Её уравнение можно найти, вычислив предел функции. Поскольку степени многочленов в числителе и знаменателе равны (обе равны 1), предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $x$:

$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 8}{x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 \cdot x^1}{1 \cdot x^1} = \frac{1}{1} = 1$

Следовательно, прямая $y = 1$ является горизонтальной асимптотой.

Альтернативный способ — выделить целую часть дроби, чтобы привести уравнение к каноническому виду $y = \frac{k}{x-a} + b$, где асимптотами являются прямые $x=a$ и $y=b$:

$y = \frac{x + 8}{x - 2} = \frac{(x - 2) + 10}{x - 2} = \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{10}{x - 2} = 1 + \frac{10}{x - 2}$

Из полученного выражения видно, что асимптотами являются прямые $x=2$ и $y=1$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = 2$, горизонтальная асимптота $y = 1$.

б) $y = -\frac{x - 8}{x + 3}$

Сначала преобразуем выражение, внеся знак минус в числитель, для удобства анализа:

$y = \frac{-(x - 8)}{x + 3} = \frac{-x + 8}{x + 3}$

1. Вертикальная асимптота. Приравняем знаменатель к нулю:

$x + 3 = 0$

$x = -3$

При $x = -3$ числитель равен $-(-3) + 8 = 3 + 8 = 11 \neq 0$. Значит, прямая $x = -3$ — это вертикальная асимптота.

2. Горизонтальная асимптота. Найдем предел функции при $x \to \infty$. Степени многочленов в числителе и знаменателе равны, поэтому предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $x$:

$y = \lim_{x \to \infty} \frac{-x + 8}{x + 3} = \frac{-1}{1} = -1$

Следовательно, прямая $y = -1$ является горизонтальной асимптотой.

Проверим, выделив целую часть:

$y = \frac{-x + 8}{x + 3} = \frac{-(x + 3) + 3 + 8}{x + 3} = \frac{-(x + 3)}{x + 3} + \frac{11}{x + 3} = -1 + \frac{11}{x + 3}$

Из этого вида $y = b + \frac{k}{x - a}$ получаем асимптоты: вертикальная $x = a = -3$ и горизонтальная $y = b = -1$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = -3$, горизонтальная асимптота $y = -1$.