Страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

180. Укажите асимптоты гиперболы:

а) $y = \frac{10}{x-3} - 2$;

б) $y = \frac{8}{x+2} - 3$.

a)

Уравнение гиперболы вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ имеет две асимптоты: вертикальную и горизонтальную.

Вертикальная асимптота — это прямая, к которой график функции приближается бесконечно близко по вертикали. Она соответствует значению $x$, при котором знаменатель дроби равен нулю (так как на ноль делить нельзя, и в этой точке функция не определена). Для функции $y = \frac{10}{x-3} - 2$ найдем вертикальную асимптоту, приравняв знаменатель к нулю:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Таким образом, вертикальная асимптота — это прямая $x = 3$.

Горизонтальная асимптота — это прямая, к которой график функции приближается бесконечно близко при $x$, стремящемся к положительной или отрицательной бесконечности ($x \to \pm\infty$). Когда $x$ становится очень большим по модулю, значение дроби $\frac{10}{x-3}$ стремится к нулю. Тогда значение $y$ стремится к постоянной величине:

$y \to 0 - 2 = -2$

Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая $y = -2$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=3$, горизонтальная асимптота $y=-2$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \frac{8}{x+2} - 3$.

Найдем вертикальную асимптоту. Для этого приравняем знаменатель дроби к нулю:

$x + 2 = 0$

$x = -2$

Следовательно, вертикальная асимптота — это прямая $x = -2$.

Найдем горизонтальную асимптоту. При $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{8}{x+2}$ стремится к нулю. Тогда значение $y$ стремится к:

$y \to 0 - 3 = -3$

Следовательно, горизонтальная асимптота — это прямая $y = -3$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-2$, горизонтальная асимптота $y=-3$.

181. Постройте график функции:

а) $y = \frac{4}{x - 3}$;

б) $y = \frac{4}{x} + 2$;

в) $y = \frac{4}{x + 3}$;

г) $y = \frac{4}{x} - 2$.

Для построения графиков всех заданных функций используется метод преобразования графика базовой функции. В данном случае базовой функцией является обратная пропорциональность $y = \frac{4}{x}$.

График функции $y = \frac{k}{x}$ (при $k>0$) — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

Общий вид функций в задании — $y = \frac{k}{x-a} + b$. Такой график получается из графика $y = \frac{k}{x}$ параллельным переносом, при котором центр симметрии гиперболы $(0,0)$ перемещается в точку $(a, b)$. Новыми асимптотами становятся прямые $x=a$ и $y=b$.

а) $y = \frac{4}{x - 3}$

Данный график получается из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

Здесь $a=3, b=0$. Центр симметрии смещается в точку $(3, 0)$.
Вертикальная асимптота: $x=3$.
Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Для построения найдем несколько точек, подставляя значения $x$ в уравнение:
- если $x=1$, то $y = \frac{4}{1-3} = -2$; точка $(1, -2)$.
- если $x=2$, то $y = \frac{4}{2-3} = -4$; точка $(2, -4)$.
- если $x=4$, то $y = \frac{4}{4-3} = 4$; точка $(4, 4)$.
- если $x=5$, то $y = \frac{4}{5-3} = 2$; точка $(5, 2)$.
- если $x=7$, то $y = \frac{4}{7-3} = 1$; точка $(7, 1)$.

Построим асимптоты $x=3$ и $y=0$, отметим вычисленные точки и проведем через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x - 3}$ — это гипербола, полученная сдвигом гиперболы $y = \frac{4}{x}$ на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота: $x=3$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

б) $y = \frac{4}{x} + 2$

Данный график получается из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Здесь $a=0, b=2$. Центр симметрии смещается в точку $(0, 2)$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Найдем несколько точек для построения:
- если $x=1$, то $y = \frac{4}{1} + 2 = 6$; точка $(1, 6)$.
- если $x=2$, то $y = \frac{4}{2} + 2 = 4$; точка $(2, 4)$.
- если $x=4$, то $y = \frac{4}{4} + 2 = 3$; точка $(4, 3)$.
- если $x=-2$, то $y = \frac{4}{-2} + 2 = 0$; точка $(-2, 0)$.
- если $x=-4$, то $y = \frac{4}{-4} + 2 = 1$; точка $(-4, 1)$.

Построим асимптоты $x=0$ и $y=2$, отметим точки и проведем через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x} + 2$ — это гипербола, полученная сдвигом гиперболы $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.

в) $y = \frac{4}{x + 3}$

Данный график получается из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Уравнение можно записать как $y = \frac{4}{x - (-3)}$.

Здесь $a=-3, b=0$. Центр симметрии смещается в точку $(-3, 0)$.
Вертикальная асимптота: $x=-3$.
Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Найдем несколько точек для построения:
- если $x=-1$, то $y = \frac{4}{-1+3} = 2$; точка $(-1, 2)$.
- если $x=-2$, то $y = \frac{4}{-2+3} = 4$; точка $(-2, 4)$.
- если $x=1$, то $y = \frac{4}{1+3} = 1$; точка $(1, 1)$.
- если $x=-4$, то $y = \frac{4}{-4+3} = -4$; точка $(-4, -4)$.
- если $x=-5$, то $y = \frac{4}{-5+3} = -2$; точка $(-5, -2)$.

Построим асимптоты $x=-3$ и $y=0$, отметим точки и проведем через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x + 3}$ — это гипербола, полученная сдвигом гиперболы $y = \frac{4}{x}$ на 3 единицы влево. Вертикальная асимптота: $x=-3$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

г) $y = \frac{4}{x} - 2$

Данный график получается из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Здесь $a=0, b=-2$. Центр симметрии смещается в точку $(0, -2)$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

Найдем несколько точек для построения:
- если $x=1$, то $y = \frac{4}{1} - 2 = 2$; точка $(1, 2)$.
- если $x=2$, то $y = \frac{4}{2} - 2 = 0$; точка $(2, 0)$.
- если $x=4$, то $y = \frac{4}{4} - 2 = -1$; точка $(4, -1)$.
- если $x=-1$, то $y = \frac{4}{-1} - 2 = -6$; точка $(-1, -6)$.
- если $x=-2$, то $y = \frac{4}{-2} - 2 = -4$; точка $(-2, -4)$.

Построим асимптоты $x=0$ и $y=-2$, отметим точки и проведем через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x} - 2$ — это гипербола, полученная сдвигом гиперболы $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вниз. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

182. Найдите асимптоты гиперболы:

a) $y = \frac{x+8}{x-2}$;

б) $y = -\frac{x-8}{x+3}$.

а) $y = \frac{x + 8}{x - 2}$

Данная функция является дробно-рациональной, её график — гипербола. Асимптоты такой функции — это прямые, к которым неограниченно приближается график функции при стремлении аргумента к определенному значению или к бесконечности.

1. Вертикальная асимптота. Вертикальная асимптота существует в точке, где знаменатель дроби обращается в ноль, а числитель при этом отличен от нуля. Эта точка является точкой разрыва функции. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти уравнение вертикальной асимптоты:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Проверим значение числителя при $x = 2$: $2 + 8 = 10 \neq 0$. Следовательно, прямая $x = 2$ является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальная асимптота. Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при $x$, стремящемся к бесконечности ($x \to \pm\infty$). Её уравнение можно найти, вычислив предел функции. Поскольку степени многочленов в числителе и знаменателе равны (обе равны 1), предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $x$:

$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 8}{x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 \cdot x^1}{1 \cdot x^1} = \frac{1}{1} = 1$

Следовательно, прямая $y = 1$ является горизонтальной асимптотой.

Альтернативный способ — выделить целую часть дроби, чтобы привести уравнение к каноническому виду $y = \frac{k}{x-a} + b$, где асимптотами являются прямые $x=a$ и $y=b$:

$y = \frac{x + 8}{x - 2} = \frac{(x - 2) + 10}{x - 2} = \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{10}{x - 2} = 1 + \frac{10}{x - 2}$

Из полученного выражения видно, что асимптотами являются прямые $x=2$ и $y=1$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = 2$, горизонтальная асимптота $y = 1$.

б) $y = -\frac{x - 8}{x + 3}$

Сначала преобразуем выражение, внеся знак минус в числитель, для удобства анализа:

$y = \frac{-(x - 8)}{x + 3} = \frac{-x + 8}{x + 3}$

1. Вертикальная асимптота. Приравняем знаменатель к нулю:

$x + 3 = 0$

$x = -3$

При $x = -3$ числитель равен $-(-3) + 8 = 3 + 8 = 11 \neq 0$. Значит, прямая $x = -3$ — это вертикальная асимптота.

2. Горизонтальная асимптота. Найдем предел функции при $x \to \infty$. Степени многочленов в числителе и знаменателе равны, поэтому предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $x$:

$y = \lim_{x \to \infty} \frac{-x + 8}{x + 3} = \frac{-1}{1} = -1$

Следовательно, прямая $y = -1$ является горизонтальной асимптотой.

Проверим, выделив целую часть:

$y = \frac{-x + 8}{x + 3} = \frac{-(x + 3) + 3 + 8}{x + 3} = \frac{-(x + 3)}{x + 3} + \frac{11}{x + 3} = -1 + \frac{11}{x + 3}$

Из этого вида $y = b + \frac{k}{x - a}$ получаем асимптоты: вертикальная $x = a = -3$ и горизонтальная $y = b = -1$.

Ответ: вертикальная асимптота $x = -3$, горизонтальная асимптота $y = -1$.

183. Покажите схематически, как расположен график функции $y = \frac{k}{x-m} + n$, где $k < 0$, если:

а) $m > 0, n < 0$;

б) $m < 0, n > 0$.

График функции $y = \frac{k}{x-m} + n$ представляет собой гиперболу. Этот график получается из графика базовой функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига).

Параметр $m$ отвечает за сдвиг по горизонтали. Вертикальная асимптота графика смещается в положение $x = m$.

Параметр $n$ отвечает за сдвиг по вертикали. Горизонтальная асимптота графика смещается в положение $y = n$.

Параметр $k$ определяет, в каких четвертях относительно новых асимптот располагаются ветви гиперболы. По условию задачи $k < 0$, это означает, что ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами $x=m$ и $y=n$.

а) $m > 0, n < 0$

1. Определим положение асимптот.
Вертикальная асимптота: $x = m$. Поскольку $m > 0$, эта прямая проходит правее оси ординат (оси Oy).
Горизонтальная асимптота: $y = n$. Поскольку $n < 0$, эта прямая проходит ниже оси абсцисс (оси Ox).

2. Определим расположение ветвей гиперболы.
Так как $k < 0$, ветви располагаются во второй и четвертой "новых" четвертях, которые образованы пересечением асимптот $x=m$ и $y=n$.

• Первая ветвь (во второй "новой" четверти) расположена в области $x < m$ и $y > n$. Она находится слева от вертикальной асимптоты и выше горизонтальной. Эта ветвь будет пересекать как ось Ox, так и ось Oy.
• Вторая ветвь (в четвертой "новой" четверти) расположена в области $x > m$ и $y < n$. Она находится справа от вертикальной асимптоты и ниже горизонтальной. Эта ветвь целиком располагается в IV координатной четверти.

Схематичное изображение графика:

Ответ: Асимптоты графика — прямая $x=m$, расположенная правее оси Oy, и прямая $y=n$, расположенная ниже оси Ox. Одна ветвь гиперболы находится в I, II и III координатных четвертях (слева от $x=m$ и выше $y=n$). Вторая ветвь полностью находится в IV координатной четверти (справа от $x=m$ и ниже $y=n$).

б) $m < 0, n > 0$

1. Определим положение асимптот.
Вертикальная асимптота: $x = m$. Поскольку $m < 0$, эта прямая проходит левее оси ординат (оси Oy).
Горизонтальная асимптота: $y = n$. Поскольку $n > 0$, эта прямая проходит выше оси абсцисс (оси Ox).

2. Определим расположение ветвей гиперболы.
Так как $k < 0$, ветви располагаются во второй и четвертой "новых" четвертях, которые образованы пересечением асимптот $x=m$ и $y=n$.

• Первая ветвь (во второй "новой" четверти) расположена в области $x < m$ и $y > n$. Она находится слева от вертикальной асимптоты и выше горизонтальной. Эта ветвь целиком располагается во II координатной четверти.
• Вторая ветвь (в четвертой "новой" четверти) расположена в области $x > m$ и $y < n$. Она находится справа от вертикальной асимптоты и ниже горизонтальной. Эта ветвь будет пересекать как ось Ox, так и ось Oy.

Схематичное изображение графика:

Ответ: Асимптоты графика — прямая $x=m$, расположенная левее оси Oy, и прямая $y=n$, расположенная выше оси Ox. Одна ветвь гиперболы полностью находится во II координатной четверти (слева от $x=m$ и выше $y=n$). Вторая ветвь находится в I, IV и III координатных четвертях (справа от $x=m$ и ниже $y=n$).

184. Постройте график функции $y = \frac{3x - 2}{x - 2}$. Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства.

Для решения данной задачи необходимо выполнить анализ функции, построить ее график, а затем найти её нули и определить промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.

Постройте график функции $y = \frac{3x - 2}{x - 2}$

Данная функция является дробно-линейной. Для построения её графика, который представляет собой гиперболу, преобразуем выражение, выделив целую часть:

$y = \frac{3x - 2}{x - 2} = \frac{3x - 6 + 4}{x - 2} = \frac{3(x - 2) + 4}{x - 2} = \frac{3(x - 2)}{x - 2} + \frac{4}{x - 2} = 3 + \frac{4}{x - 2}$

Итоговая функция: $y = \frac{4}{x - 2} + 3$.

Этот вид показывает, что график функции является результатом сдвига графика базовой гиперболы $y = \frac{4}{x}$:

• на 2 единицы вправо (так как в знаменателе $x-2$),
• на 3 единицы вверх (так как к дроби прибавляется 3).

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота определяется из условия, что знаменатель равен нулю: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$.
• Горизонтальная асимптота определяется сдвигом по оси Y: $y = 3$.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{3 \cdot 0 - 2}{0 - 2} = \frac{-2}{-2} = 1$. Координаты: $(0, 1)$.
• Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{3x - 2}{x - 2} \implies 3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$. Координаты: $(\frac{2}{3}, 0)$.
• Дополнительные точки:
  • при $x=1$, $y = \frac{4}{1 - 2} + 3 = -1$. Точка $(1, -1)$.
  • при $x=3$, $y = \frac{4}{3 - 2} + 3 = 7$. Точка $(3, 7)$.
  • при $x=4$, $y = \frac{4}{4 - 2} + 3 = 5$. Точка $(4, 5)$.

На координатной плоскости строим пунктирными линиями асимптоты $x=2$ и $y=3$. Затем отмечаем найденные точки и соединяем их плавными кривыми, получая две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=3$, полученная сдвигом графика $y=4/x$ на 2 единицы вправо и 3 единицы вверх.

Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$.

$\frac{3x - 2}{x - 2} = 0$

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.

При $x = \frac{2}{3}$ знаменатель $x-2 = \frac{2}{3}-2 = -\frac{4}{3} \neq 0$. Значит, $x = \frac{2}{3}$ — единственный нуль функции.

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Эти интервалы определяются нулями функции и точками разрыва (вертикальными асимптотами). В данном случае это точки $x = \frac{2}{3}$ и $x = 2$. Они разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Определим знак функции на каждом из интервалов методом пробных точек:

• Интервал $(-\infty, \frac{2}{3})$: возьмем $x=0$. $y(0) = 1 > 0$. Следовательно, $y > 0$ на этом интервале.
• Интервал $(\frac{2}{3}, 2)$: возьмем $x=1$. $y(1) = \frac{3 \cdot 1 - 2}{1 - 2} = -1 < 0$. Следовательно, $y < 0$ на этом интервале.
• Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x=3$. $y(3) = \frac{3 \cdot 3 - 2}{3 - 2} = 7 > 0$. Следовательно, $y > 0$ на этом интервале.

Ответ: Нуль функции: $x = \frac{2}{3}$. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (\frac{2}{3}; 2)$.

185. Укажите функции, графиками которых являются гиперболы.

1. $y = \frac{15}{x-3}$

2. $y = \frac{8x-5}{25}$

3. $y = \frac{37+x}{37-x}$

4. $y = \frac{8x-40}{5x-25}$

Графиком функции является гипербола, если функция может быть представлена в виде $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k \neq 0$. Этот вид функции называется дробно-линейной. В общем виде она записывается как $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Для того чтобы график такой функции был гиперболой, должны выполняться два условия: $c \neq 0$ (иначе функция будет линейной) и $ad-bc \neq 0$ (иначе функция будет постоянной, возможно, с выколотой точкой).

Проанализируем каждую из предложенных функций:

1. $y = \frac{15}{x-3}$

Эта функция уже представлена в каноническом виде $y = \frac{k}{x-a} + b$. Здесь $k=15$, $a=3$, $b=0$. Поскольку коэффициент $k=15 \neq 0$, график этой функции является гиперболой.

Ответ: является гиперболой.

2. $y = \frac{8x-5}{25}$

Преобразуем выражение, разделив числитель на знаменатель почленно: $y = \frac{8x}{25} - \frac{5}{25}$, что равносильно $y = \frac{8}{25}x - \frac{1}{5}$. Это уравнение вида $y=mx+c$, которое задает линейную функцию. Ее графиком является прямая линия, а не гипербола.

Ответ: не является гиперболой.

3. $y = \frac{37+x}{37-x}$

Это дробно-линейная функция вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Перепишем ее в стандартном виде: $y = \frac{x+37}{-x+37}$. Здесь $a=1$, $b=37$, $c=-1$, $d=37$. Проверим условия для гиперболы:

1. $c = -1 \neq 0$.

2. $ad-bc = 1 \cdot 37 - 37 \cdot (-1) = 37 + 37 = 74 \neq 0$.

Оба условия выполняются, следовательно, график данной функции — гипербола. Для наглядности можно выделить целую часть:

$y = \frac{x+37}{-(x-37)} = -\frac{x-37+74}{x-37} = -(\frac{x-37}{x-37} + \frac{74}{x-37}) = -(1 + \frac{74}{x-37}) = -1 - \frac{74}{x-37}$.

Функция приведена к виду $y = \frac{k}{x-a} + b$ с $k=-74$, $a=37$ и $b=-1$.

Ответ: является гиперболой.

4. $y = \frac{8x-40}{5x-25}$

Это дробно-линейная функция вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $a=8$, $b=-40$, $c=5$, $d=-25$. Проверим условие $ad-bc \neq 0$:

$ad-bc = 8 \cdot (-25) - (-40) \cdot 5 = -200 + 200 = 0$.

Поскольку $ad-bc = 0$, график этой функции не является гиперболой. Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе и знаменателе:

$y = \frac{8(x-5)}{5(x-5)}$.

При $x \neq 5$ дробь можно сократить, и функция принимает вид $y = \frac{8}{5}$. Ее график — это горизонтальная прямая с выколотой точкой при $x=5$.

Ответ: не является гиперболой.

Таким образом, функции, графиками которых являются гиперболы, это функции, указанные в пунктах 1 и 3.

186. Докажите, что графику функции $y = \frac{2x+5}{x-3}$ принадлежат лишь две точки, у которых и абсцисса, и ордината — натуральные числа. Найдите координаты этих точек.

Требуется доказать, что существует ровно две точки на графике функции $y = \frac{2x+5}{x-3}$, у которых и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) являются натуральными числами, а также найти эти точки. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$.

Для решения задачи преобразуем данное выражение, выделив целую часть. Для этого в числителе выделим слагаемое, кратное знаменателю:

$2x + 5 = 2x - 6 + 6 + 5 = 2(x - 3) + 11$

Теперь подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{2(x - 3) + 11}{x - 3} = \frac{2(x - 3)}{x - 3} + \frac{11}{x - 3} = 2 + \frac{11}{x - 3}$

По условию, $x$ и $y$ — натуральные числа. Из выражения $y = 2 + \frac{11}{x - 3}$ видно, что для того, чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{11}{x - 3}$ была целым числом. Это возможно только в том случае, если знаменатель $(x - 3)$ является делителем числа 11.

Число 11 является простым, его целочисленные делители: $1, -1, 11, -11$. Рассмотрим последовательно все возможные случаи.

1. Пусть $x - 3 = 1$. Тогда $x = 1 + 3 = 4$. $x=4$ — натуральное число. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 2 + \frac{11}{1} = 13$.
$y=13$ — натуральное число. Следовательно, точка $(4, 13)$ является решением.

2. Пусть $x - 3 = 11$. Тогда $x = 11 + 3 = 14$. $x=14$ — натуральное число. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 2 + \frac{11}{11} = 2 + 1 = 3$.
$y=3$ — натуральное число. Следовательно, точка $(14, 3)$ является решением.

3. Пусть $x - 3 = -1$. Тогда $x = -1 + 3 = 2$. $x=2$ — натуральное число. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 2 + \frac{11}{-1} = 2 - 11 = -9$.
$y=-9$ не является натуральным числом. Этот случай не подходит.

4. Пусть $x - 3 = -11$. Тогда $x = -11 + 3 = -8$.
$x=-8$ не является натуральным числом. Этот случай также не подходит.

Таким образом, мы перебрали все варианты, при которых $x$ может быть натуральным числом, а $y$ — целым, и нашли, что только в двух случаях обе координаты ($x$ и $y$) являются натуральными числами. Это доказывает, что графику функции принадлежат ровно две точки с натуральными координатами.

Ответ: Было показано, что для того, чтобы $x$ и $y$ были натуральными числами, выражение $x-3$ должно быть делителем числа 11. Перебор делителей $1, 11, -1, -11$ показал, что только при $x-3=1$ и $x-3=11$ обе координаты являются натуральными числами. Искомые точки: $(4, 13)$ и $(14, 3)$.

187. Найдите все точки графика функции $y = \frac{8x - 7}{x}$, у которых и абсцисса, и ордината являются целыми числами.

Для того чтобы найти все точки графика функции $y = \frac{8x - 7}{x}$, у которых и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) являются целыми числами, необходимо выполнить следующие шаги.

По условию задачи, и $x$, и $y$ должны быть целыми числами ($x \in \mathbb{Z}$, $y \in \mathbb{Z}$). Кроме того, из вида функции следует, что $x \neq 0$, так как на ноль делить нельзя.

Преобразуем данную функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{8x - 7}{x} = \frac{8x}{x} - \frac{7}{x} = 8 - \frac{7}{x}$

Из полученного выражения видно, что $y$ будет целым числом тогда и только тогда, когда выражение $\frac{7}{x}$ будет целым числом, поскольку 8 уже является целым числом.

Дробь $\frac{7}{x}$ принимает целые значения, если ее знаменатель $x$ является целым делителем числителя 7.

Найдем все целые делители числа 7. Это: $1, -1, 7, -7$.

Теперь для каждого найденного значения $x$ вычислим соответствующее значение $y$:

• При $x = 1$:
  $y = 8 - \frac{7}{1} = 8 - 7 = 1$
  Следовательно, первая точка имеет координаты $(1, 1)$.
• При $x = -1$:
  $y = 8 - \frac{7}{-1} = 8 + 7 = 15$
  Следовательно, вторая точка имеет координаты $(-1, 15)$.
• При $x = 7$:
  $y = 8 - \frac{7}{7} = 8 - 1 = 7$
  Следовательно, третья точка имеет координаты $(7, 7)$.
• При $x = -7$:
  $y = 8 - \frac{7}{-7} = 8 + 1 = 9$
  Следовательно, четвертая точка имеет координаты $(-7, 9)$.

Других целых делителей у числа 7 нет, поэтому мы нашли все точки графика с целочисленными координатами.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, 15)$, $(7, 7)$, $(-7, 9)$.

188. Решите графически уравнение $\frac{4x}{x+2} = x - 3$.

Чтобы решить уравнение $\frac{4x}{x+2} = x - 3$ графически, нужно построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \frac{4x}{x+2}$ и $y_2 = x - 3$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями данного уравнения.

1. Построение графика функции $y_1 = \frac{4x}{x+2}$

Это дробно-рациональная функция, её график — гипербола. Чтобы упростить построение, выделим целую часть дроби:

$y_1 = \frac{4x}{x+2} = \frac{4(x+2) - 8}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x+2} - \frac{8}{x+2} = 4 - \frac{8}{x+2}$

Этот график можно получить из графика функции $y = -\frac{8}{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево по оси абсцисс и на 4 единицы вверх по оси ординат.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x+2 = 0 \implies x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 4$.

Вычислим координаты нескольких точек для построения:

• при $x = -4$, $y_1 = \frac{4(-4)}{-4+2} = \frac{-16}{-2} = 8$. Точка $(-4, 8)$.
• при $x = -3$, $y_1 = \frac{4(-3)}{-3+2} = \frac{-12}{-1} = 12$. Точка $(-3, 12)$.
• при $x = -1$, $y_1 = \frac{4(-1)}{-1+2} = \frac{-4}{1} = -4$. Точка $(-1, -4)$.
• при $x = 0$, $y_1 = \frac{4(0)}{0+2} = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 2$, $y_1 = \frac{4(2)}{2+2} = \frac{8}{4} = 2$. Точка $(2, 2)$.
• при $x = 6$, $y_1 = \frac{4(6)}{6+2} = \frac{24}{8} = 3$. Точка $(6, 3)$.

2. Построение графика функции $y_2 = x - 3$

Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y_2 = 0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• при $x = 3$, $y_2 = 3 - 3 = 0$. Точка $(3, 0)$.

3. Нахождение решения

Построив графики функций $y_1$ и $y_2$ в одной системе координат, найдем их точки пересечения. Видно, что графики пересекаются в двух точках. По вычисленным ранее координатам мы можем точно определить эти точки: $(-1, -4)$ и $(6, 3)$.

Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.

Проверим найденные решения:

Для $x = -1$:

$\frac{4(-1)}{-1+2} = -1-3$

$\frac{-4}{1} = -4$

$-4 = -4$ (верно)

Для $x = 6$:

$\frac{4(6)}{6+2} = 6-3$

$\frac{24}{8} = 3$

$3 = 3$ (верно)

Ответ: $-1; 6$.

189. Постройте график функции $g(x) = \frac{6}{|x - 2|}$.

Решите уравнение:

a) $g(x) = 3;$

б) $g(x) = 6;$

в) $g(x) = -2.$

Для построения графика функции $g(x) = \frac{6}{|x-2|}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x-2| \neq 0$, что означает $x \neq 2$. Область определения функции: $D(g) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Область значений. Числитель дроби — положительное число 6. Знаменатель $|x-2|$ — неотрицательное число. В области определения функции знаменатель строго положителен. Следовательно, $g(x) > 0$ для всех $x \in D(g)$. График функции полностью расположен в верхней полуплоскости.

3. Построение. График функции можно получить из графика функции $y = \frac{6}{x}$ (стандартная гипербола) с помощью преобразований:

• Сначала строим график $y_1 = \frac{6}{x-2}$. Это график $y = \frac{6}{x}$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота смещается в $x=2$.
• Затем строим график $g(x) = \frac{6}{|x-2|} = |\frac{6}{x-2}|$. Для этого часть графика $y_1$, которая находится ниже оси Ox (при $x < 2$), симметрично отражается относительно оси Ox вверх. Часть графика, которая уже находится выше оси Ox (при $x > 2$), остается без изменений.

В итоге график состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=2$. Горизонтальной асимптотой для обеих ветвей является ось Ox ($y=0$).

Вычислим координаты нескольких контрольных точек:
При $x=3, g(3) = \frac{6}{|3-2|} = 6$.
При $x=4, g(4) = \frac{6}{|4-2|} = 3$.
При $x=8, g(8) = \frac{6}{|8-2|} = 1$.
В силу симметрии относительно прямой $x=2$:
При $x=1, g(1) = \frac{6}{|1-2|} = 6$.
При $x=0, g(0) = \frac{6}{|0-2|} = 3$.
При $x=-4, g(-4) = \frac{6}{|-4-2|} = 1$.

Решите уравнение:

а) $g(x) = 3$
$\frac{6}{|x-2|} = 3$
Поскольку $x \neq 2$, можно умножить обе части на $|x-2|$:
$6 = 3 \cdot |x-2|$
$|x-2| = 2$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $x-2 = 2 \implies x = 4$.
2) $x-2 = -2 \implies x = 0$.
Ответ: 0; 4.

б) $g(x) = 6$
$\frac{6}{|x-2|} = 6$
$|x-2| = 1$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $x-2 = 1 \implies x = 3$.
2) $x-2 = -1 \implies x = 1$.
Ответ: 1; 3.

в) $g(x) = -2$
$\frac{6}{|x-2|} = -2$
Как было установлено при анализе функции, $g(x)$ принимает только положительные значения ($g(x)>0$) для всех $x$ из области определения. Поэтому левая часть уравнения всегда положительна, а правая — отрицательна. Равенство невозможно.
Ответ: нет решений.