Страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

205. Начертите график какой-нибудь функции, областью определения которой является промежуток $[-3; 4]$, а областью значений — промежуток $[0; 6]$.

Для построения графика функции необходимо выполнить два условия, указанные в задаче:

1. Область определения функции $D(f)$ — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. По условию, это промежуток $[-3; 4]$. Это означает, что график функции должен существовать только для $x$ от $-3$ до $4$ включительно.
2. Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $y=f(x)$. По условию, это промежуток $[0; 6]$. Это означает, что самая низкая точка графика должна иметь координату $y=0$ (минимальное значение функции), а самая высокая — $y=6$ (максимальное значение функции). При этом функция должна принимать все возможные значения между 0 и 6.

Существует бесконечно много функций, удовлетворяющих этим условиям. Самый простой способ построить такой график — это нарисовать непрерывную ломаную линию, которая соответствует заданным ограничениям.

Выберем несколько ключевых точек, чтобы определить форму нашего графика:

• Чтобы область определения начиналась с $x=-3$, а минимальное значение было $y=0$, возьмем начальную точку $(-3; 0)$.
• Чтобы область определения заканчивалась на $x=4$ и значение в этой точке снова было минимальным, возьмем конечную точку $(4; 0)$.
• Чтобы максимальное значение функции было $y=6$, выберем точку с этой координатой $y$ где-то между $x=-3$ и $x=4$. Например, возьмем точку $(1; 6)$.

Теперь соединим эти три точки $(-3; 0)$, $(1; 6)$ и $(4; 0)$ последовательно отрезками прямых. Полученная ломаная линия является графиком непрерывной функции.

Проверим, удовлетворяет ли построенный график условиям:

• Все $x$-координаты графика лежат в промежутке от $-3$ до $4$. Таким образом, область определения $D(f) = [-3; 4]$.
• Минимальное значение $y$ на графике равно $0$, а максимальное равно $6$. Так как линия непрерывна, она принимает все промежуточные значения. Таким образом, область значений $E(f) = [0; 6]$.

Оба условия выполнены.

Ответ:

Один из возможных графиков, удовлетворяющих условию, представлен ниже. Это ломаная линия, проходящая через точки $(-3; 0)$, $(1; 6)$ и $(4; 0)$.

206. Найдите нули функции (если они существуют):

а) $y = \frac{2x + 11}{10}$;

б) $y = \frac{6}{8 - 0,5x}$;

в) $y = \frac{3x^2 - 12}{4}$.

а) Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции $y$ к нулю и решить полученное уравнение относительно $x$. Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю.

Для функции $y = \frac{2x + 11}{10}$ составим уравнение:

$\frac{2x + 11}{10} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель в данном случае равен 10, что не равно нулю. Следовательно, мы можем приравнять числитель к нулю:

$2x + 11 = 0$

Перенесем 11 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = -11$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{11}{2}$

$x = -5,5$

Таким образом, нулем данной функции является $x = -5,5$.

Ответ: -5,5.

б) Найдем нули для функции $y = \frac{6}{8 - 0,5x}$.

Приравняем функцию к нулю:

$\frac{6}{8 - 0,5x} = 0$

Как и в предыдущем случае, дробь равна нулю, только если ее числитель равен нулю. Однако числитель данной дроби — это число 6. Поскольку $6 \neq 0$, то уравнение $\frac{6}{8 - 0,5x} = 0$ не имеет решений ни при каких допустимых значениях $x$. Область определения функции: $8 - 0,5x \neq 0$, то есть $x \neq 16$.

Следовательно, у данной функции нет нулей.

Ответ: нулей не существует.

в) Найдем нули для функции $y = \frac{3x^2 - 12}{4}$.

Приравняем функцию к нулю:

$\frac{3x^2 - 12}{4} = 0$

Знаменатель дроби равен 4, что не равно нулю. Значит, для равенства дроби нулю необходимо, чтобы ее числитель был равен нулю:

$3x^2 - 12 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем -12 в правую часть:

$3x^2 = 12$

Разделим обе части на 3:

$x^2 = \frac{12}{3}$

$x^2 = 4$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{4} = 2$

$x_2 = -\sqrt{4} = -2$

Таким образом, функция имеет два нуля: 2 и -2.

Ответ: -2; 2.

207. Известно, что $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — возрастающие (убывающие) функции. Докажите, что функция $\varphi(x) = f(x) + g(x)$ является возрастающей (убывающей) функцией.

Возрастающие функции

Докажем утверждение для случая, когда обе функции, $y = f(x)$ и $y = g(x)$, являются возрастающими.

По определению, функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из общей области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство: значение функции в точке $x_2$ больше значения функции в точке $x_1$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из области определения функций, причем $x_2 > x_1$. Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ возрастающие, для них выполняются неравенства:

$f(x_2) > f(x_1)$

$g(x_2) > g(x_1)$

Сложим эти два неравенства одного знака. Сумма больших частей будет больше суммы меньших частей:

$f(x_2) + g(x_2) > f(x_1) + g(x_1)$

По условию, функция $\phi(x) = f(x) + g(x)$. Следовательно, мы можем переписать полученное неравенство в терминах функции $\phi(x)$:

$\phi(x_2) > \phi(x_1)$

Мы получили, что для любых $x_2 > x_1$ выполняется $\phi(x_2) > \phi(x_1)$. Это, по определению, означает, что функция $\phi(x)$ является возрастающей. Утверждение для возрастающих функций доказано.

Ответ: Сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией.

Убывающие функции

Докажем утверждение для случая, когда обе функции, $y = f(x)$ и $y = g(x)$, являются убывающими.

По определению, функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из общей области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство: значение функции в точке $x_2$ меньше значения функции в точке $x_1$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из области определения функций, причем $x_2 > x_1$. Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ убывающие, для них выполняются неравенства:

$f(x_2) < f(x_1)$

$g(x_2) < g(x_1)$

Сложим эти два неравенства одного знака. Сумма меньших частей будет меньше суммы больших частей:

$f(x_2) + g(x_2) < f(x_1) + g(x_1)$

По условию, функция $\phi(x) = f(x) + g(x)$. Следовательно, мы можем переписать полученное неравенство в терминах функции $\phi(x)$:

$\phi(x_2) < \phi(x_1)$

Мы получили, что для любых $x_2 > x_1$ выполняется $\phi(x_2) < \phi(x_1)$. Это, по определению, означает, что функция $\phi(x)$ является убывающей. Утверждение для убывающих функций доказано.

Ответ: Сумма двух убывающих функций является убывающей функцией.

208. Известно, что $y = f(x)$ — возрастающая функция и $a$ — некоторое число. Докажите, что уравнение $f(x) = a$ имеет не более одного корня.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

По определению, функция $y = f(x)$ является возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется строгое неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Предположим, что утверждение задачи неверно. То есть, предположим, что уравнение $f(x) = a$ имеет более одного корня. Пусть $x_1$ и $x_2$ — два различных корня этого уравнения.

Поскольку $x_1$ и $x_2$ — разные числа ($x_1 \neq x_2$), одно из них обязательно больше другого. Для определённости, пусть $x_2 > x_1$.

Так как $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $f(x) = a$, то по определению корня:
$f(x_1) = a$
$f(x_2) = a$
Из этого следует, что $f(x_1) = f(x_2)$.

С другой стороны, поскольку функция $f(x)$ по условию является возрастающей и мы приняли, что $x_2 > x_1$, то из определения возрастающей функции должно выполняться неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Мы пришли к противоречию. Из нашего предположения о существовании двух различных корней мы получили, что $f(x_1) = f(x_2)$, а из свойства возрастающей функции следует, что $f(x_2) > f(x_1)$. Эти два вывода несовместимы.

Противоречие означает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, уравнение $f(x) = a$ для возрастающей функции $f(x)$ не может иметь более одного корня, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что у уравнения есть два различных корня $x_1$ и $x_2$ (пусть $x_2 > x_1$), то, с одной стороны, $f(x_1)=f(x_2)=a$. С другой стороны, так как функция возрастающая, $f(x_2)>f(x_1)$. Полученное противоречие доказывает, что уравнение не может иметь более одного корня.

209. Решите уравнение:

а) $\sqrt{x} + x^2 = 18;$

б) $x^3 + 5x = 6.$

а) $\sqrt{x} + x^2 = 18$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется наличием квадратного корня: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x} + x^2$ в левой части уравнения. Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную:
$f'(x) = (\sqrt{x} + x^2)' = (\smash{x^{\frac{1}{2}}} + x^2)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 2x = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x$.
В области допустимых значений при $x > 0$ оба слагаемых в производной ($\frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $2x$) положительны. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x > 0$.
Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, \infty)$.
Так как функция строго возрастает, она может принимать каждое свое значение только один раз. Значит, уравнение $f(x) = 18$ может иметь не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые числа, являющиеся полными квадратами, чтобы было удобно извлекать корень.
Пусть $x = 1$: $\sqrt{1} + 1^2 = 1 + 1 = 2 \ne 18$.
Пусть $x = 4$: $\sqrt{4} + 4^2 = 2 + 16 = 18$.
Равенство выполняется, значит $x = 4$ является корнем уравнения. Поскольку корень может быть только один, это и есть решение.
Ответ: $x=4$.

б) $x^3 + 5x = 6$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^3 + 5x - 6 = 0$.
Рассмотрим функцию $g(x) = x^3 + 5x - 6$. Найдем ее производную, чтобы исследовать на монотонность:
$g'(x) = (x^3 + 5x - 6)' = 3x^2 + 5$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$. Следовательно, $g'(x) = 3x^2 + 5 \ge 5 > 0$ для всех $x$.
Это означает, что функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Значит, уравнение $g(x) = 0$ может иметь не более одного действительного корня.
Найдем корень методом подбора среди целых делителей свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверим $x = 1$: $1^3 + 5(1) - 6 = 1 + 5 - 6 = 0$.
Равенство выполняется, значит $x = 1$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, это и есть решение.

Альтернативный способ:
После нахождения корня $x=1$ можно разделить многочлен $x^3 + 5x - 6$ на двучлен $(x - 1)$:
$(x^3 + 5x - 6) : (x - 1) = x^2 + x + 6$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x - 1)(x^2 + x + 6) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
2) $x^2 + x + 6 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.
Так как дискриминант $\Delta < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, единственным решением исходного уравнения является $x = 1$.
Ответ: $x=1$.

210. Какие из функций, заданных фор- мулами $y = x^2$, $y = x^2 + 5$, $y = 2x + 5$, $y = x^3$, $y = -x^2$, $y = -x^2 - 4$, $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt{x} + 1$, $y = x^4 + x^2 + 6$, сохра- няют знак на всей области опреде- ления?

Для того чтобы определить, какие из заданных функций сохраняют знак на всей области определения, необходимо проанализировать каждую функцию отдельно.

$y = x^2$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ для всех $x$. Функция принимает значение $0$ при $x=0$ и положительные значения при всех остальных $x$. Таким образом, функция является неотрицательной на всей области определения и сохраняет свой знак.

Ответ: сохраняет знак.

$y = x^2 + 5$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 5 \ge 5$. Это означает, что значения функции всегда строго больше нуля. Следовательно, функция сохраняет свой знак (положительна).

Ответ: сохраняет знак.

$y = 2x + 5$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Это линейная функция. Она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, при $x=0$, $y=5$ (положительное значение), а при $x=-3$, $y = 2(-3) + 5 = -1$ (отрицательное значение). Функция меняет знак в точке $x = -2.5$.

Ответ: не сохраняет знак.

$y = x^3$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Если $x > 0$, то $y > 0$. Если $x < 0$, то $y < 0$. Функция принимает значения разных знаков.

Ответ: не сохраняет знак.

$y = -x^2$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Так как $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$. Функция принимает значение $0$ при $x=0$ и отрицательные значения при всех остальных $x$. Таким образом, функция является неположительной на всей области определения и сохраняет свой знак.

Ответ: сохраняет знак.

$y = -x^2 - 4$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Так как $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$. Следовательно, $-x^2 - 4 \le -4$. Значения функции всегда строго меньше нуля. Следовательно, функция сохраняет свой знак (отрицательна).

Ответ: сохраняет знак.

$y = \sqrt{x}$

Область определения функции — все неотрицательные числа, $D(y): x \in [0; +\infty)$. По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Функция сохраняет свой знак (неотрицательна).

Ответ: сохраняет знак.

$y = \sqrt{x} + 1$

Область определения функции — $D(y): x \in [0; +\infty)$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x} + 1 \ge 1$. Значения функции всегда строго больше нуля. Следовательно, функция сохраняет свой знак (положительна).

Ответ: сохраняет знак.

$y = x^4 + x^2 + 6$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, то их сумма $x^4 + x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^4 + x^2 + 6 \ge 6$. Значения функции всегда строго больше нуля. Следовательно, функция сохраняет свой знак (положительна).

Ответ: сохраняет знак.

Таким образом, функции, сохраняющие знак на всей области определения:

• $y = x^2$
• $y = x^2 + 5$
• $y = -x^2$
• $y = -x^2 - 4$
• $y = \sqrt{x}$
• $y = \sqrt{x} + 1$
• $y = x^4 + x^2 + 6$

211. На рисунке 49 изображён график одной из функций $y = \sqrt{x - 1}$, $y = \sqrt{x + 1}$, $y = \sqrt{1 - x}$. Какой именно?

Рис. 49

Чтобы определить, какой из предложенных функций соответствует график на рисунке, проанализируем свойства графика и сравним их со свойствами каждой функции.

Из рисунка 49 видно, что:

• График существует только при значениях $x \le 1$. Это означает, что область определения функции $D(y) = (-\infty, 1]$.
• График проходит через две контрольные точки: $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

Теперь рассмотрим поочередно каждую из заданных функций.

Анализ функции $y = \sqrt{x - 1}$:

• Область определения находится из условия, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, откуда следует $x \ge 1$.
• Данная область определения $[1, \infty)$ противоречит графику, который определен для $x \le 1$. Следовательно, эта функция не подходит.

Анализ функции $y = \sqrt{x + 1}$:

• Область определения: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
• Начальная точка графика этой функции находится в точке, где подкоренное выражение равно нулю, то есть при $x = -1$. В этой точке $y = \sqrt{-1 + 1} = 0$. Таким образом, график начинается в точке $(-1, 0)$.
• На рисунке же график начинается в точке $(1, 0)$. Следовательно, эта функция также не подходит.

Анализ функции $y = \sqrt{1 - x}$:

• Область определения: $1 - x \ge 0$, откуда следует $x \le 1$. Это полностью соответствует тому, что мы видим на графике.
• Проверим ключевые точки, которые видны на графике:
  • При $x = 1$, значение функции $y = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$. График проходит через точку $(1, 0)$. Это совпадает с рисунком.
  • При $x = 0$, значение функции $y = \sqrt{1 - 0} = \sqrt{1} = 1$. График проходит через точку $(0, 1)$. Это также совпадает с рисунком.

Поскольку и область определения, и ключевые точки для функции $y = \sqrt{1 - x}$ совпадают с изображенным графиком, делаем вывод, что на рисунке представлен именно этот график.

Ответ: На рисунке изображен график функции $y = \sqrt{1 - x}$.

212. Какой из трёх графиков, изображённых на рисунке 50, является графиком функции $y = |x - 2|$?

Чтобы определить, какой из графиков на рисунке 50 является графиком функции $y = |x - 2|$, проанализируем свойства этой функции и вид её графика.

Способ 1: Преобразование графика

График функции $y = |x - 2|$ можно получить из графика базовой функции $y = |x|$. График $y = |x|$ — это V-образная линия ("галочка") с вершиной в начале координат (0, 0). Преобразование функции вида $f(x)$ в $f(x-a)$ соответствует сдвигу графика вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц. В нашем случае $a=2$, что означает сдвиг графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо. Таким образом, вершина графика переместится из точки (0, 0) в точку (2, 0).

Способ 2: Анализ по определению модуля

По определению, модуль числа $|a|$ равен $a$, если $a \ge 0$, и равен $-a$, если $a < 0$. Раскроем модуль в нашей функции:

1. При $x - 2 \ge 0$, то есть при $x \ge 2$, функция имеет вид $y = x - 2$. Это луч прямой линии с угловым коэффициентом 1, начинающийся в точке (2, 0).

2. При $x - 2 < 0$, то есть при $x < 2$, функция имеет вид $y = -(x - 2) = -x + 2$. Это луч прямой линии с угловым коэффициентом -1, также приходящий в точку (2, 0).

Ключевые точки графика

Для точной идентификации графика найдем его основные точки:

Вершина графика: Это точка, в которой подмодульное выражение равно нулю. $x - 2 = 0 \implies x = 2$. При этом $y = |2-2|=0$. Вершина находится в точке $(2, 0)$.

Пересечение с осью Oy: Для этого подставим $x=0$ в уравнение. $y = |0 - 2| = |-2| = 2$. График пересекает ось ординат в точке $(0, 2)$.

Заключение

Искомый график должен удовлетворять следующим условиям: это V-образная линия, ветви которой направлены вверх; вершина (самая нижняя точка) графика находится в точке $(2, 0)$; график проходит через точку $(0, 2)$. Вам следует выбрать тот из трех предложенных графиков, который соответствует этому описанию.

Ответ: Графиком функции $y = |x - 2|$ является V-образная линия, вершина которой расположена в точке $(2, 0)$, а ветви направлены вверх. График симметричен относительно вертикальной прямой $x=2$ и пересекает ось y в точке $(0, 2)$.

213. Постройте график функции $y = \frac{6}{|x|}$ и опишите её свойства.

1.

2.

3.

Рис. 50

Для построения графика функции $y = \frac{6}{|x|}$ и описания её свойств, выполним следующие шаги.

Построение графика

График функции можно построить, проанализировав её вид в зависимости от знака $x$. Функция $y = \frac{6}{|x|}$ является чётной, так как $y(-x) = \frac{6}{|-x|} = \frac{6}{|x|} = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Поэтому достаточно построить график для $x > 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси $Oy$.

1. Построение графика для $x > 0$.
   При $x > 0$, модуль $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{6}{x}$. Это уравнение обратной пропорциональности (гипербола). Так как мы рассматриваем только $x > 0$, нас интересует ветвь гиперболы, расположенная в первом координатном квадранте.
2. Нахождение ключевых точек.
   Составим таблицу значений для нескольких точек при $x > 0$:
   • Если $x = 1$, то $y = \frac{6}{1} = 6$. Точка $(1, 6)$.
   • Если $x = 2$, то $y = \frac{6}{2} = 3$. Точка $(2, 3)$.
   • Если $x = 3$, то $y = \frac{6}{3} = 2$. Точка $(3, 2)$.
   • Если $x = 6$, то $y = \frac{6}{6} = 1$. Точка $(6, 1)$.
   Соединив эти точки плавной кривой, мы получим ветвь гиперболы в первой четверти.
3. Построение графика для $x < 0$.
   Используя свойство чётности, отражаем построенную ветвь симметрично относительно оси $Oy$. Таким образом, точки $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$ переходят в точки $(-1, 6), (-2, 3), (-3, 2), (-6, 1)$. Соединив их, получаем вторую ветвь графика во второй четверти.

Итоговый график состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в первом и втором координатных квадрантах. Оси координат являются асимптотами графика.

Свойства функции

Опишем основные свойства функции $y = \frac{6}{|x|}$:

1. Область определения.
   Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
   Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений.
   Числитель $6$ — положительное число. Знаменатель $|x|$ также всегда положителен для любого $x$ из области определения. Следовательно, значение функции $y$ всегда будет положительным.
   Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
3. Чётность.
   Как было показано ранее, $y(-x) = y(x)$, следовательно, функция является чётной. Её график симметричен относительно оси $Oy$.
4. Нули функции.
   Функция равна нулю, если её числитель равен нулю. Так как числитель равен $6$, он никогда не равен нулю. У функции нет нулей, график не пересекает ось $Ox$.
5. Промежутки знакопостоянства.
   Функция $y > 0$ на всей своей области определения, то есть при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
6. Промежутки монотонности (возрастания и убывания).
   • На промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает (при увеличении $x$ от $-\infty$ до $0$, значения $y$ увеличиваются от $0$ до $+\infty$).
   • На промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает (при увеличении $x$ от $0$ до $+\infty$, значения $y$ уменьшаются от $+\infty$ до $0$).
7. Экстремумы.
   У функции нет точек минимума и максимума.
8. Асимптоты.
   • Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось $Oy$), так как при $x \to 0$, $y \to +\infty$.
   • Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось $Ox$), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{|x|}$ представляет собой две симметричные относительно оси $Oy$ ветви гиперболы, расположенные в I и II координатных четвертях. Основные свойства функции: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(y) = (0; +\infty)$; функция чётная; нулей не имеет; положительна на всей области определения; возрастает на интервале $(-\infty; 0)$ и убывает на интервале $(0; +\infty)$; не имеет экстремумов; имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.