Номер 208, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

208. Известно, что $y = f(x)$ — возрастающая функция и $a$ — некоторое число. Докажите, что уравнение $f(x) = a$ имеет не более одного корня.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

По определению, функция $y = f(x)$ является возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется строгое неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Предположим, что утверждение задачи неверно. То есть, предположим, что уравнение $f(x) = a$ имеет более одного корня. Пусть $x_1$ и $x_2$ — два различных корня этого уравнения.

Поскольку $x_1$ и $x_2$ — разные числа ($x_1 \neq x_2$), одно из них обязательно больше другого. Для определённости, пусть $x_2 > x_1$.

Так как $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $f(x) = a$, то по определению корня:
$f(x_1) = a$
$f(x_2) = a$
Из этого следует, что $f(x_1) = f(x_2)$.

С другой стороны, поскольку функция $f(x)$ по условию является возрастающей и мы приняли, что $x_2 > x_1$, то из определения возрастающей функции должно выполняться неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Мы пришли к противоречию. Из нашего предположения о существовании двух различных корней мы получили, что $f(x_1) = f(x_2)$, а из свойства возрастающей функции следует, что $f(x_2) > f(x_1)$. Эти два вывода несовместимы.

Противоречие означает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, уравнение $f(x) = a$ для возрастающей функции $f(x)$ не может иметь более одного корня, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что у уравнения есть два различных корня $x_1$ и $x_2$ (пусть $x_2 > x_1$), то, с одной стороны, $f(x_1)=f(x_2)=a$. С другой стороны, так как функция возрастающая, $f(x_2)>f(x_1)$. Полученное противоречие доказывает, что уравнение не может иметь более одного корня.