Номер 204, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

204. Катер отправляется от пристани A и идёт вниз по реке к пристани B, до которой 60 км. После двухчасовой стоянки на пристани B он возвращается обратно. Расстояние $l$ (км), пройденное катером от пристани A, зависит от времени $t$ (ч), отсчитываемого с момента отправления катера из A до момента возвращения. Собственная скорость катера 16 км/ч, скорость течения реки 4 км/ч. Задайте $l$ как функцию от $t$ формулами, постройте график функции, опишите по графику её свойства и объясните их физический смысл.

Задайте l как функцию от t формулами

Для решения задачи разобьем весь путь катера на три участка и найдем для каждого из них формулу зависимости расстояния $l$ от времени $t$.

1. Движение от пристани А до пристани В (вниз по течению).

Скорость катера при движении вниз по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки:$v_{по~течению} = v_{катера} + v_{течения} = 16 + 4 = 20$ км/ч.

Время, которое катер затратит на путь от А до В (60 км), составляет:$t_1 = \frac{S}{v_{по~течению}} = \frac{60}{20} = 3$ часа.

Таким образом, на временном промежутке $0 \le t \le 3$ расстояние от пристани А вычисляется по формуле линейной зависимости: $l(t) = v_{по~течению} \cdot t = 20t$.

2. Стоянка на пристани В.

Катер прибывает на пристань В в момент времени $t = 3$ ч. По условию, стоянка длится 2 часа. Следовательно, катер находится на пристани В с $t=3$ ч до $t = 3 + 2 = 5$ ч.

В течение этого времени расстояние от пристани А не изменяется и остается равным 60 км.Для временного промежутка $3 < t \le 5$ функция имеет вид: $l(t) = 60$.

3. Движение от пристани В до пристани А (против течения).

Катер отправляется обратно в $t = 5$ ч. Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения реки:$v_{против~течения} = v_{катера} - v_{течения} = 16 - 4 = 12$ км/ч.

Время, затраченное на обратный путь, составляет:$t_3 = \frac{S}{v_{против~течения}} = \frac{60}{12} = 5$ часов.

Катер вернется на пристань А в момент времени $t = 5 + 5 = 10$ ч.На временном промежутке $5 < t \le 10$ расстояние от пристани А уменьшается. Время, прошедшее с момента отправления из В, равно $(t-5)$. За это время катер пройдет расстояние $12 \cdot (t-5)$ км. Расстояние от пристани А будет равно:$l(t) = 60 - 12(t-5) = 60 - 12t + 60 = 120 - 12t$.

Объединив все три участка, мы получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: Функция зависимости расстояния $l$ (в км) от времени $t$ (в ч) задается следующей системой:$l(t) = \begin{cases} 20t, & \text{если } 0 \le t \le 3 \\ 60, & \text{если } 3 < t \le 5 \\ 120 - 12t, & \text{если } 5 < t \le 10 \end{cases}$

Постройте график функции

График функции $l(t)$ представляет собой ломаную линию, состоящую из трех отрезков на координатной плоскости $(t, l)$, где ось абсцисс — время $t$ в часах, а ось ординат — расстояние $l$ в километрах.

• При $0 \le t \le 3$ график является отрезком прямой, проходящим через точки $(0, 0)$ и $(3, 60)$.
• При $3 < t \le 5$ график является горизонтальным отрезком, соединяющим точки $(3, 60)$ и $(5, 60)$.
• При $5 < t \le 10$ график является отрезком прямой, соединяющим точки $(5, 60)$ и $(10, 0)$.

Ответ: График функции $l(t)$ построен и представлен на рисунке выше.

Опишите по графику её свойства и объясните их физический смысл

Область определения функции: $D(l) = [0; 10]$.
Физический смысл: всё путешествие катера, включая отправление из А, стоянку в В и возвращение в А, занимает 10 часов.

Область значений функции: $E(l) = [0; 60]$.
Физический смысл: минимальное расстояние от катера до пристани А равно 0 км (когда катер находится в точке А), а максимальное — 60 км (когда катер находится в точке В), что равно расстоянию между пристанями.

Промежутки монотонности:
- Функция возрастает на промежутке $[0; 3]$. Физический смысл: катер удаляется от пристани А, двигаясь вниз по течению со скоростью 20 км/ч. Расстояние $l$ увеличивается.
- Функция постоянна на промежутке $(3; 5]$. Физический смысл: катер стоит на пристани В, поэтому его расстояние от пристани А не изменяется.
- Функция убывает на промежутке $(5; 10]$. Физический смысл: катер движется обратно к пристани А против течения со скоростью 12 км/ч, поэтому расстояние $l$ уменьшается.

Нули функции: $l(t) = 0$ при $t=0$ и $t=10$.
Физический смысл: в начальный момент времени ($t=0$) и в конечный момент времени ($t=10$) катер находится на пристани А, т.е. на нулевом расстоянии от неё.

Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $[0; 10]$.
Физический смысл: положение катера изменяется плавно, без мгновенных "прыжков" в пространстве. Движение является непрерывным процессом.

Точки излома графика: $t=3$ и $t=5$.
Физический смысл: в эти моменты времени происходит резкое изменение скорости движения катера относительно пристани А. Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости. В $t=3$ катер останавливается (скорость меняется с 20 км/ч до 0). В $t=5$ катер начинает движение в обратном направлении (скорость меняется с 0 на -12 км/ч).

Ответ: Основные свойства функции, определенные по графику, и их физический смысл подробно описаны выше.