Номер 201, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

201. Длина прямоугольника ABCD (рис. 48) равна 10 см, а ширина — 7 см. Отрезок MN передвигается от отрезка AD до отрезка BC, оставаясь параллельным отрезку AD. Площадь $y$ (см$^\text{2}$) закрашенной части есть функция расстояния $x$ (см) от точки D до точки N. Задайте функцию $y = f(x)$ формулой. Найдите область значений этой функции.

Рис. 48

Задайте функцию y = f(x) формулой.
Согласно условию, дан прямоугольник $ABCD$, длина которого равна 10 см, а ширина — 7 см. Из рисунка видно, что $AD$ — это длинная сторона (длина), а $CD$ — короткая (ширина). Таким образом, $AD = 10$ см и $CD = 7$ см.
Закрашенная часть представляет собой прямоугольник $AMND$. Площадь $y$ этого прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон, $AD$ и $DN$.
$y = AD \cdot DN$
По условию, $x$ (см) — это расстояние от точки $D$ до точки $N$, следовательно, $DN = x$.
Подставив известные значения в формулу площади, мы получаем зависимость $y$ от $x$:
$y = 10 \cdot x$
Это и есть искомая формула функции $y = f(x)$.
Ответ: $y = 10x$.

Найдите область значений этой функции.
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Чтобы ее найти, сначала определим область определения — множество всех допустимых значений для $x$.
Переменная $x$ — это длина отрезка $DN$. Точка $N$ принадлежит отрезку $CD$. Движение отрезка $MN$ от $AD$ до $BC$ означает, что точка $N$ перемещается от точки $D$ до точки $C$.
Минимальное значение $x$ достигается, когда точка $N$ совпадает с точкой $D$. В этом случае $x = 0$.
Максимальное значение $x$ достигается, когда точка $N$ совпадает с точкой $C$. В этом случае $x$ равно длине отрезка $CD$, то есть $x = 7$ см.
Таким образом, область определения функции $x \in [0, 7]$, или $0 \le x \le 7$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для границ области определения:
При $x = 0$: $y = 10 \cdot 0 = 0$.
При $x = 7$: $y = 10 \cdot 7 = 70$.
Функция $y = 10x$ является линейной и возрастающей, поэтому ее значения будут лежать между минимальным и максимальным. Таким образом, область значений функции $y$ — это все числа от 0 до 70 включительно.
Ответ: область значений функции — отрезок $[0, 70]$, то есть $0 \le y \le 70$.