Номер 207, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

207. Известно, что $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — возрастающие (убывающие) функции. Докажите, что функция $\varphi(x) = f(x) + g(x)$ является возрастающей (убывающей) функцией.

Возрастающие функции

Докажем утверждение для случая, когда обе функции, $y = f(x)$ и $y = g(x)$, являются возрастающими.

По определению, функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из общей области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство: значение функции в точке $x_2$ больше значения функции в точке $x_1$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из области определения функций, причем $x_2 > x_1$. Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ возрастающие, для них выполняются неравенства:

$f(x_2) > f(x_1)$

$g(x_2) > g(x_1)$

Сложим эти два неравенства одного знака. Сумма больших частей будет больше суммы меньших частей:

$f(x_2) + g(x_2) > f(x_1) + g(x_1)$

По условию, функция $\phi(x) = f(x) + g(x)$. Следовательно, мы можем переписать полученное неравенство в терминах функции $\phi(x)$:

$\phi(x_2) > \phi(x_1)$

Мы получили, что для любых $x_2 > x_1$ выполняется $\phi(x_2) > \phi(x_1)$. Это, по определению, означает, что функция $\phi(x)$ является возрастающей. Утверждение для возрастающих функций доказано.

Ответ: Сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией.

Убывающие функции

Докажем утверждение для случая, когда обе функции, $y = f(x)$ и $y = g(x)$, являются убывающими.

По определению, функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из общей области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство: значение функции в точке $x_2$ меньше значения функции в точке $x_1$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из области определения функций, причем $x_2 > x_1$. Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ убывающие, для них выполняются неравенства:

$f(x_2) < f(x_1)$

$g(x_2) < g(x_1)$

Сложим эти два неравенства одного знака. Сумма меньших частей будет меньше суммы больших частей:

$f(x_2) + g(x_2) < f(x_1) + g(x_1)$

По условию, функция $\phi(x) = f(x) + g(x)$. Следовательно, мы можем переписать полученное неравенство в терминах функции $\phi(x)$:

$\phi(x_2) < \phi(x_1)$

Мы получили, что для любых $x_2 > x_1$ выполняется $\phi(x_2) < \phi(x_1)$. Это, по определению, означает, что функция $\phi(x)$ является убывающей. Утверждение для убывающих функций доказано.

Ответ: Сумма двух убывающих функций является убывающей функцией.