Номер 212, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

212. Какой из трёх графиков, изображённых на рисунке 50, является графиком функции $y = |x - 2|$?

Чтобы определить, какой из графиков на рисунке 50 является графиком функции $y = |x - 2|$, проанализируем свойства этой функции и вид её графика.

Способ 1: Преобразование графика

График функции $y = |x - 2|$ можно получить из графика базовой функции $y = |x|$. График $y = |x|$ — это V-образная линия ("галочка") с вершиной в начале координат (0, 0). Преобразование функции вида $f(x)$ в $f(x-a)$ соответствует сдвигу графика вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц. В нашем случае $a=2$, что означает сдвиг графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо. Таким образом, вершина графика переместится из точки (0, 0) в точку (2, 0).

Способ 2: Анализ по определению модуля

По определению, модуль числа $|a|$ равен $a$, если $a \ge 0$, и равен $-a$, если $a < 0$. Раскроем модуль в нашей функции:

1. При $x - 2 \ge 0$, то есть при $x \ge 2$, функция имеет вид $y = x - 2$. Это луч прямой линии с угловым коэффициентом 1, начинающийся в точке (2, 0).

2. При $x - 2 < 0$, то есть при $x < 2$, функция имеет вид $y = -(x - 2) = -x + 2$. Это луч прямой линии с угловым коэффициентом -1, также приходящий в точку (2, 0).

Ключевые точки графика

Для точной идентификации графика найдем его основные точки:

Вершина графика: Это точка, в которой подмодульное выражение равно нулю. $x - 2 = 0 \implies x = 2$. При этом $y = |2-2|=0$. Вершина находится в точке $(2, 0)$.

Пересечение с осью Oy: Для этого подставим $x=0$ в уравнение. $y = |0 - 2| = |-2| = 2$. График пересекает ось ординат в точке $(0, 2)$.

Заключение

Искомый график должен удовлетворять следующим условиям: это V-образная линия, ветви которой направлены вверх; вершина (самая нижняя точка) графика находится в точке $(2, 0)$; график проходит через точку $(0, 2)$. Вам следует выбрать тот из трех предложенных графиков, который соответствует этому описанию.

Ответ: Графиком функции $y = |x - 2|$ является V-образная линия, вершина которой расположена в точке $(2, 0)$, а ветви направлены вверх. График симметричен относительно вертикальной прямой $x=2$ и пересекает ось y в точке $(0, 2)$.