Номер 217, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

217. Докажите, что квадратный трёхчлен имеет корни, и найдите их сумму и произведение:

a) $2x^2 - 10x + 3$;

б) $\frac{1}{3}x^2 + 7x - 2$;

в) $0.5x^2 + 6x + 1$;

г) $-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$.

а) Для того чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $2x^2 - 10x + 3$ имеет корни, необходимо вычислить его дискриминант $D$. Квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ имеет действительные корни, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.В данном случае коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -10$, $c = 3$.Вычислим дискриминант:$D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 100 - 24 = 76$.Поскольку $D = 76 > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.Сумму и произведение корней найдём по теореме Виета. Для корней $x_1$ и $x_2$:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{2} = 5$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$.Ответ: Сумма корней равна 5, произведение корней равно $\frac{3}{2}$.

б) Рассмотрим трёхчлен $\frac{1}{3}x^2 + 7x - 2$.Коэффициенты: $a = \frac{1}{3}$, $b = 7$, $c = -2$.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-2) = 49 + \frac{8}{3} = \frac{147}{3} + \frac{8}{3} = \frac{155}{3}$.Так как $D = \frac{155}{3} > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.По теореме Виета:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{1/3} = -7 \cdot 3 = -21$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1/3} = -2 \cdot 3 = -6$.Ответ: Сумма корней равна -21, произведение корней равно -6.

в) Рассмотрим трёхчлен $0,5x^2 + 6x + 1$.Коэффициенты: $a = 0,5$, $b = 6$, $c = 1$.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot 1 = 36 - 2 = 34$.Так как $D = 34 > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.По теореме Виета:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{0,5} = -12$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{0,5} = 2$.Ответ: Сумма корней равна -12, произведение корней равно 2.

г) Рассмотрим трёхчлен $-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$.Коэффициенты: $a = -\frac{1}{2}$, $b = \frac{1}{3}$, $c = \frac{1}{2}$.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9} - (-1) = \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}$.Так как $D = \frac{10}{9} > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.По теореме Виета:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1/3}{-1/2} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1/2}{-1/2} = -1$.Ответ: Сумма корней равна $\frac{2}{3}$, произведение корней равно -1.