Страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

214. Найдите корни квадратного трёхчлена:

а) $ \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2; $

б) $ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}; $

в) $ -x^2 + 4x - 2\frac{3}{4}; $

г) $ 0,4x^2 - x + 0,2. $

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$, необходимо решить соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ – дискриминант.

Для того чтобы найти корни квадратного трёхчлена $\frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2$, приравняем его к нулю:

$\frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2 = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot (\frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2) = 6 \cdot 0$

$x^2 + 4x - 12 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=4$, $c=-12$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: -6; 2.

Найдём корни трёхчлена $\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}$, решив уравнение:

$\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4} = 0$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей (2, 3, 4), который равен 12:

$12 \cdot (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}) = 12 \cdot 0$

$6x^2 - 4x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6$, $b=-4$, $c=-3$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 16 + 72 = 88$

Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 6} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 22}}{12} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{12}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{2(2 \pm \sqrt{22})}{12} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{6}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{22}}{6}$ и $x_2 = \frac{2 - \sqrt{22}}{6}$.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{22}}{6}$; $\frac{2 + \sqrt{22}}{6}$.

Найдём корни трёхчлена $-x^2 + 4x - 2\frac{3}{4}$, решив уравнение:

$-x^2 + 4x - 2\frac{3}{4} = 0$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$.

$-x^2 + 4x - \frac{11}{4} = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$-4x^2 + 16x - 11 = 0$

Для удобства умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$4x^2 - 16x + 11 = 0$

Здесь $a=4$, $b=-16$, $c=11$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 11 = 256 - 176 = 80$

Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 4} = \frac{16 \pm \sqrt{16 \cdot 5}}{8} = \frac{16 \pm 4\sqrt{5}}{8}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$x = \frac{4(4 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{5}}{2}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{4 - \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{4 - \sqrt{5}}{2}$; $\frac{4 + \sqrt{5}}{2}$.

Найдём корни трёхчлена $0.4x^2 - x + 0.2$, решив уравнение:

$0.4x^2 - x + 0.2 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:

$4x^2 - 10x + 2 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$2x^2 - 5x + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=-5$, $c=1$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17$

Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$ и $x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{17}}{4}$; $\frac{5 + \sqrt{17}}{4}$.

215. Составьте какой-нибудь квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа:

а) -7 и 2;

б) $3 - \sqrt{2}$ и $3 + \sqrt{2}$.

а) Чтобы составить квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться формулой, вытекающей из теоремы Виета для приведённого квадратного уравнения (когда коэффициент при $x^2$ равен 1): $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$. В данном случае корнями являются числа $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.
Сначала найдём сумму корней:
$x_1 + x_2 = -7 + 2 = -5$.
Затем найдём произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot 2 = -14$.
Теперь подставим найденные значения суммы и произведения в формулу:
$x^2 - (-5)x + (-14)$
Упростив выражение, получаем искомый квадратный трёхчлен:
$x^2 + 5x - 14$.
Ответ: $x^2 + 5x - 14$.

б) Аналогично поступим для корней $x_1 = 3 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{2}$.
Найдём сумму корней:
$x_1 + x_2 = (3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 3 - \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} = 6$.
Найдём произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$.
Подставим найденные значения в общую формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$:
$x^2 - 6x + 7$.
Это и есть искомый квадратный трёхчлен.
Ответ: $x^2 - 6x + 7$.

216. При каком значении $p$ выражение $2px^2 - 2x - 2p - 3$ становится квадратным трёхчленом, одним из корней которого является число нуль? Найдите другой корень.

Данное выражение: $2px^2 - 2x - 2p - 3$.

Чтобы это выражение было квадратным трёхчленом, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю. Коэффициент при $x^2$ равен $2p$. Следовательно, должно выполняться условие: $2p \neq 0$, что означает $p \neq 0$.

По условию, один из корней этого трёхчлена равен нулю. Это означает, что если подставить $x=0$ в выражение, оно обратится в ноль. Подставим $x=0$: $2p(0)^2 - 2(0) - 2p - 3 = 0$

Упростим полученное уравнение: $0 - 0 - 2p - 3 = 0$ $-2p - 3 = 0$

Решим это уравнение относительно $p$: $-2p = 3$ $p = -\frac{3}{2}$

Это значение $p = -1.5$ удовлетворяет условию $p \neq 0$, следовательно, при данном значении $p$ выражение является квадратным трёхчленом.

Теперь найдём другой корень. Для этого подставим найденное значение $p = -\frac{3}{2}$ в исходный трёхчлен: $2(-\frac{3}{2})x^2 - 2x - 2(-\frac{3}{2}) - 3$

Упростим выражение: $-3x^2 - 2x - (-3) - 3$ $-3x^2 - 2x + 3 - 3$ $-3x^2 - 2x$

Чтобы найти корни, приравняем полученный трёхчлен к нулю и решим уравнение: $-3x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(-3x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ (этот корень был дан в условии) или $-3x - 2 = 0$

Решим второе уравнение, чтобы найти другой корень: $-3x = 2$ $x_2 = -\frac{2}{3}$

Таким образом, мы нашли искомое значение $p$ и второй корень трёхчлена.

Ответ: при $p = -\frac{3}{2}$ другой корень равен $-\frac{2}{3}$.

217. Докажите, что квадратный трёхчлен имеет корни, и найдите их сумму и произведение:

a) $2x^2 - 10x + 3$;

б) $\frac{1}{3}x^2 + 7x - 2$;

в) $0.5x^2 + 6x + 1$;

г) $-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$.

а) Для того чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $2x^2 - 10x + 3$ имеет корни, необходимо вычислить его дискриминант $D$. Квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ имеет действительные корни, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.В данном случае коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -10$, $c = 3$.Вычислим дискриминант:$D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 100 - 24 = 76$.Поскольку $D = 76 > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.Сумму и произведение корней найдём по теореме Виета. Для корней $x_1$ и $x_2$:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{2} = 5$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$.Ответ: Сумма корней равна 5, произведение корней равно $\frac{3}{2}$.

б) Рассмотрим трёхчлен $\frac{1}{3}x^2 + 7x - 2$.Коэффициенты: $a = \frac{1}{3}$, $b = 7$, $c = -2$.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-2) = 49 + \frac{8}{3} = \frac{147}{3} + \frac{8}{3} = \frac{155}{3}$.Так как $D = \frac{155}{3} > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.По теореме Виета:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{1/3} = -7 \cdot 3 = -21$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1/3} = -2 \cdot 3 = -6$.Ответ: Сумма корней равна -21, произведение корней равно -6.

в) Рассмотрим трёхчлен $0,5x^2 + 6x + 1$.Коэффициенты: $a = 0,5$, $b = 6$, $c = 1$.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot 1 = 36 - 2 = 34$.Так как $D = 34 > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.По теореме Виета:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{0,5} = -12$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{0,5} = 2$.Ответ: Сумма корней равна -12, произведение корней равно 2.

г) Рассмотрим трёхчлен $-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$.Коэффициенты: $a = -\frac{1}{2}$, $b = \frac{1}{3}$, $c = \frac{1}{2}$.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9} - (-1) = \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}$.Так как $D = \frac{10}{9} > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.По теореме Виета:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1/3}{-1/2} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1/2}{-1/2} = -1$.Ответ: Сумма корней равна $\frac{2}{3}$, произведение корней равно -1.

218. Найдите трёхчлен вида $x^2 + px + q$, корнями которого являются не равные нулю числа $p$ и $q$.

Пусть дан приведённый квадратный трёхчлен $x^2 + px + q$. По условию, его корнями являются числа $x_1 = p$ и $x_2 = q$, причём дано, что $p \neq 0$ и $q \neq 0$.

Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета выполняются следующие соотношения:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем случае коэффициенты трёхчлена равны $b=p$ и $c=q$, а корни — это $p$ и $q$. Применим теорему Виета:

1. Сумма корней: $p + q = -p$
2. Произведение корней: $p \cdot q = q$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $p$ и $q$:
$\begin{cases} p + q = -p \\ pq = q \end{cases}$

Начнём решение системы со второго уравнения, так как оно проще:
$pq = q$
$pq - q = 0$
$q(p - 1) = 0$
Это уравнение имеет два возможных решения: либо $q = 0$, либо $p - 1 = 0$.
По условию задачи, корень $q$ не равен нулю ($q \neq 0$), следовательно, единственно возможным решением является $p - 1 = 0$, откуда $p = 1$.

Теперь, зная значение $p$, подставим его в первое уравнение системы, чтобы найти $q$:
$p + q = -p$
$1 + q = -1$
$q = -1 - 1$
$q = -2$

Таким образом, мы нашли искомые числа: $p=1$ и $q=-2$. Оба они не равны нулю, что соответствует условию.
Подставим найденные значения $p$ и $q$ в исходный трёхчлен $x^2 + px + q$:
$x^2 + (1)x + (-2)$

Искомый трёхчлен: $x^2 + x - 2$.

Ответ: $x^2 + x - 2$

219. Пусть $α$ и $β$ — корни трёхчлена $x^2 + px + q$, причём $αβ = 4$ и $&sqrt;{α} + &sqrt;{β} = 3$. Чему равны $α$ и $β$?

По условию, $\alpha$ и $\beta$ являются корнями квадратного трёхчлена $x^2 + px + q$. Согласно теореме Виета, сумма и произведение корней связаны с коэффициентами $p$ и $q$ следующими соотношениями:
$\alpha + \beta = -p$
$\alpha\beta = q$

В задаче даны два условия:
1) $\alpha\beta = 4$
2) $\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = 3$

Из условия существования квадратных корней $\sqrt{\alpha}$ и $\sqrt{\beta}$ следует, что корни $\alpha$ и $\beta$ должны быть неотрицательными, то есть $\alpha \ge 0$ и $\beta \ge 0$.

Для нахождения суммы корней $\alpha + \beta$ возведём обе части второго уравнения в квадрат:
$(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^2 = 3^2$
Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(\sqrt{\alpha})^2 + 2\sqrt{\alpha}\sqrt{\beta} + (\sqrt{\beta})^2 = 9$
$\alpha + 2\sqrt{\alpha\beta} + \beta = 9$

Теперь подставим в полученное уравнение известное из первого условия значение произведения $\alpha\beta = 4$:
$\alpha + \beta + 2\sqrt{4} = 9$
$\alpha + \beta + 2 \cdot 2 = 9$
$\alpha + \beta + 4 = 9$

Отсюда находим сумму корней:
$\alpha + \beta = 9 - 4$
$\alpha + \beta = 5$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений для нахождения $\alpha$ и $\beta$:
$\begin{cases} \alpha + \beta = 5 \\ \alpha\beta = 4 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа, чья сумма равна 5, а произведение равно 4, являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Его можно легко решить, разложив левую часть на множители:
$t^2 - 4t - t + 4 = 0$
$t(t - 4) - 1(t - 4) = 0$
$(t - 1)(t - 4) = 0$
Отсюда получаем корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Следовательно, искомые значения корней $\alpha$ и $\beta$ — это 1 и 4. Поскольку задача симметрична относительно $\alpha$ и $\beta$, то возможны два варианта.

Ответ: $\alpha=1, \beta=4$ или $\alpha=4, \beta=1$.

220. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

а) $2x^2 - 3x + 7;$

б) $-3x^2 + 4x - 1;$

в) $5x^2 - 3x;$

г) $-4x^2 + 8x.$

а) $2x^2 - 3x + 7$

Чтобы выделить квадрат двучлена, сначала вынесем коэффициент при $x^2$ за скобки:
$2x^2 - 3x + 7 = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 7$

Теперь выражение в скобках $x^2 - \frac{3}{2}x$ нужно дополнить до полного квадрата. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$, а член $-2ab$ соответствует $-\frac{3}{2}x$. Отсюда находим $b$:
$2xb = \frac{3}{2}x \implies b = \frac{3}{4}$

Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$. Добавим и вычтем его внутри скобок, чтобы не изменить выражение:
$2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) + 7$

Теперь первые три слагаемых в скобках образуют полный квадрат $(x - \frac{3}{4})^2$. Преобразуем выражение:
$2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 7$

Раскроем внешние скобки и приведем подобные слагаемые:
$2(x - \frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{9}{16} + 7 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{18}{16} + 7 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 7 = 2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{56-9}{8} = 2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{47}{8}$

Ответ: $2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{47}{8}$

б) $-3x^2 + 4x - 1$

Вынесем коэффициент $-3$ за скобки:
$-3(x^2 - \frac{4}{3}x) - 1$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. У нас $2xb = \frac{4}{3}x$, откуда $b = \frac{2}{3}$. Необходимое слагаемое $b^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$. Добавим и вычтем его:
$-3(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) - 1$

Сгруппируем слагаемые в полный квадрат $(x - \frac{2}{3})^2$:
$-3((x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) - 1$

Раскроем скобки и упростим:
$-3(x - \frac{2}{3})^2 + (-3)(-\frac{4}{9}) - 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{12}{9} - 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{3}$

Ответ: $-3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{3}$

в) $5x^2 - 3x$

Вынесем коэффициент $5$ за скобки:
$5(x^2 - \frac{3}{5}x)$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. У нас $2xb = \frac{3}{5}x$, откуда $b = \frac{3}{10}$. Необходимое слагаемое $b^2 = (\frac{3}{10})^2 = \frac{9}{100}$. Добавим и вычтем его:
$5(x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{9}{100} - \frac{9}{100})$

Сгруппируем слагаемые в полный квадрат $(x - \frac{3}{10})^2$:
$5((x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{100})$

Раскроем скобки:
$5(x - \frac{3}{10})^2 - 5 \cdot \frac{9}{100} = 5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{45}{100} = 5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{20}$

Ответ: $5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{20}$

г) $-4x^2 + 8x$

Вынесем коэффициент $-4$ за скобки:
$-4(x^2 - 2x)$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. У нас $2xb = 2x$, откуда $b = 1$. Необходимое слагаемое $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем его:
$-4(x^2 - 2x + 1 - 1)$

Сгруппируем слагаемые в полный квадрат $(x - 1)^2$:
$-4((x - 1)^2 - 1)$

Раскроем скобки:
$-4(x - 1)^2 + (-4)(-1) = -4(x - 1)^2 + 4$

Ответ: $-4(x - 1)^2 + 4$

221. Докажите, что квадратный трёхчлен:

a) $-x^2 + 20x - 103$ не принимает положительных значений;

б) $x^2 - 16x + 65$ не принимает отрицательных значений.

а) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $-x^2 + 20x - 103$ не принимает положительных значений, то есть $-x^2 + 20x - 103 \le 0$ для любого $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат.

Вынесем знак минус за скобки:
$-x^2 + 20x - 103 = -(x^2 - 20x + 103)$.

Чтобы в скобках получить полный квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, нам нужно, чтобы $a=x$ и $2ab = 20x$, откуда $b=10$. Тогда $b^2=100$. Представим число $103$ в виде суммы $100 + 3$:
$-(x^2 - 20x + 100 + 3) = -((x^2 - 20x + 100) + 3)$.

Теперь выражение в первых скобках является полным квадратом $(x-10)^2$:
$-((x-10)^2 + 3) = -(x-10)^2 - 3$.

Проанализируем полученное выражение. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x-10)^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $-(x-10)^2$ всегда неположительно: $-(x-10)^2 \le 0$.
Вычитая из неположительного числа $3$, мы получаем число, которое всегда меньше или равно $-3$:
$-(x-10)^2 - 3 \le -3$.

Таким образом, мы показали, что максимальное значение квадратного трёхчлена $-x^2 + 20x - 103$ равно $-3$ (достигается при $x=10$). Поскольку его значения всегда меньше или равны $-3$, они никогда не бывают положительными.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $x^2 - 16x + 65$ не принимает отрицательных значений, то есть $x^2 - 16x + 65 \ge 0$ для любого $x$, также выделим полный квадрат.

Для выделения полного квадрата по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, нам нужно, чтобы $a=x$ и $2ab = 16x$, откуда $b=8$. Тогда $b^2=64$. Представим число $65$ в виде суммы $64 + 1$:
$x^2 - 16x + 65 = (x^2 - 16x + 64) + 1$.

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-8)^2$:
$(x-8)^2 + 1$.

Проанализируем полученное выражение. Квадрат любого действительного числа неотрицателен: $(x-8)^2 \ge 0$.
Прибавляя к неотрицательному числу $1$, мы получаем число, которое всегда больше или равно $1$:
$(x-8)^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, мы показали, что минимальное значение квадратного трёхчлена $x^2 - 16x + 65$ равно $1$ (достигается при $x=8$). Поскольку его значения всегда больше или равны $1$, они никогда не бывают отрицательными.

Ответ: Доказано.

222. Найдите наибольшее или наименьшее значение квадратного трёхчлена:

а) $3x^2 - 4x + 5;$

б) $-3x^2 + 12x.$

а) $3x^2 - 4x + 5$

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ нужно определить, имеет ли он наименьшее или наибольшее значение, и найти значение в вершине параболы, которая является его графиком.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 3$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, следовательно, функция имеет наименьшее значение.

Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Координата $x$ вершины ($x_0$) вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данного трехчлена $b = -4$.

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Чтобы найти наименьшее значение, подставим $x_0$ в исходный трехчлен:

$y_{min} = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 5 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{12}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{15}{3} = \frac{4 - 8 + 15}{3} = \frac{11}{3}$.

Наименьшее значение трехчлена равно $\frac{11}{3}$.

Ответ: наименьшее значение равно $\frac{11}{3}$.

б) $-3x^2 + 12x$

Рассмотрим квадратный трехчлен $-3x^2 + 12x$.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -3$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, следовательно, функция имеет наибольшее значение.

Наибольшее значение достигается в вершине параболы. Координата $x$ вершины ($x_0$) вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данного трехчлена $b = 12$.

$x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2$.

Чтобы найти наибольшее значение, подставим $x_0$ в исходный трехчлен:

$y_{max} = -3(2)^2 + 12(2) = -3 \cdot 4 + 24 = -12 + 24 = 12$.

Наибольшее значение трехчлена равно 12.

Ответ: наибольшее значение равно 12.

223. Сумма положительных чисел $a$ и $b$ равна 40. При каких значениях $a$ и $b$ их произведение будет наибольшим?

По условию задачи, у нас есть два положительных числа $a$ и $b$ ($a > 0, b > 0$), сумма которых равна 40:

$a + b = 40$

Необходимо найти такие значения $a$ и $b$, при которых их произведение $P = a \cdot b$ будет максимальным. Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1. Через квадратичную функцию

Из уравнения $a + b = 40$ выразим одну переменную через другую, например, $b$:

$b = 40 - a$

Подставим это выражение в формулу для произведения $P$:

$P(a) = a \cdot (40 - a) = 40a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $P(a) = -a^2 + 40a$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при старшем члене ($a^2$) отрицателен. Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Абсцисса вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. Для нашей функции $A = -1$ и $B = 40$. Найдем значение $a$, при котором произведение будет максимальным:

$a = -\frac{40}{2 \cdot (-1)} = -\frac{40}{-2} = 20$

Теперь найдем соответствующее значение $b$:

$b = 40 - a = 40 - 20 = 20$

Таким образом, произведение достигает максимума при $a=20$ и $b=20$.

Способ 2. С помощью неравенства о средних (неравенство Коши)

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел $a$ и $b$ утверждает, что среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому:

$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a = b$.

Подставим в неравенство известную нам сумму $a + b = 40$:

$\frac{40}{2} \ge \sqrt{ab}$

$20 \ge \sqrt{ab}$

Чтобы оценить произведение $ab$, возведем обе части в квадрат:

$400 \ge ab$

Это означает, что максимальное значение произведения $ab$ равно 400. Оно достигается в случае равенства, то есть при $a = b$.

Так как $a = b$ и $a + b = 40$, мы можем записать:

$a + a = 40 \implies 2a = 40 \implies a = 20$

Следовательно, $b$ также равно 20.

Оба метода приводят к выводу, что произведение чисел будет наибольшим, когда эти числа равны друг другу.

Ответ: Произведение будет наибольшим при $a=20$ и $b=20$.

224. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) $0.8x^2 - 19.8x - 5;$

б) $3.5 - 3\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^2;$

в) $x^2 + x\sqrt{2} - 2;$

г) $x^2 - x\sqrt{6} + 1.$

а)

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Дан трёхчлен $0.8x^2 - 19.8x - 5$. Найдём корни уравнения $0.8x^2 - 19.8x - 5 = 0$.

Для удобства вычислений умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$8x^2 - 198x - 50 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$4x^2 - 99x - 25 = 0$

Теперь найдём корни с помощью дискриминанта. Здесь $a=4$, $b=-99$, $c=-25$.

$D = b^2 - 4ac = (-99)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-25) = 9801 + 400 = 10201$

$\sqrt{D} = \sqrt{10201} = 101$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 + 101}{2 \cdot 4} = \frac{200}{8} = 25$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 - 101}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Подставляем корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a = 0.8$:

$0.8(x - 25)(x - (-\frac{1}{4})) = 0.8(x - 25)(x + \frac{1}{4})$

Для более удобного вида можно преобразовать выражение:

$0.8(x - 25)(x + \frac{1}{4}) = 0.2 \cdot 4 \cdot (x - 25)(x + \frac{1}{4}) = 0.2(x-25) \cdot 4(x + \frac{1}{4}) = 0.2(x-25)(4x+1)$

Ответ: $0.2(x - 25)(4x + 1)$

б)

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Дан трёхчлен $3.5 - 3\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^2$. Запишем его в стандартном виде и преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби:

$\frac{2}{3}x^2 - 3\frac{1}{3}x + 3.5 = \frac{2}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{7}{2}$

Найдём корни уравнения $\frac{2}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{7}{2} = 0$.

Умножим уравнение на наименьший общий знаменатель (6), чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot (\frac{2}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{7}{2}) = 0$

$4x^2 - 20x + 21 = 0$

Найдём корни через дискриминант ($a=4, b=-20, c=21$):

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 21 = 400 - 336 = 64$

$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Подставляем корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a = \frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}(x - \frac{7}{2})(x - \frac{3}{2})$

Можно представить ответ в виде с целыми коэффициентами в скобках:

$\frac{2}{3}(x - \frac{7}{2})(x - \frac{3}{2}) = \frac{1}{6} \cdot 2(x - \frac{7}{2}) \cdot 2(x - \frac{3}{2}) = \frac{1}{6}(2x-7)(2x-3)$

Ответ: $\frac{2}{3}(x - \frac{7}{2})(x - \frac{3}{2})$ или $\frac{1}{6}(2x-7)(2x-3)$

в)

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Дан трёхчлен $x^2 + x\sqrt{2} - 2$. Найдём корни уравнения $x^2 + x\sqrt{2} - 2 = 0$.

Здесь $a=1$, $b=\sqrt{2}$, $c=-2$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 2 + 8 = 10$

$\sqrt{D} = \sqrt{10}$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

Подставляем корни в формулу разложения ($a=1$):

$(x - \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})(x - \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})$

Раскроем внутренние скобки:

$(x + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})(x + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})$

Ответ: $(x + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})(x + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})$

г)

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Дан трёхчлен $x^2 - x\sqrt{6} + 1$. Найдём корни уравнения $x^2 - x\sqrt{6} + 1 = 0$.

Здесь $a=1$, $b=-\sqrt{6}$, $c=1$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 6 - 4 = 2$

$\sqrt{D} = \sqrt{2}$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

Подставляем корни в формулу разложения ($a=1$):

$(x - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})(x - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})$

Ответ: $(x - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})(x - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})$

225. Зная, что m — целое число, найдите целые корни трёхчлена $mx^2 + (m - 3)x - 3.$

Для нахождения корней трёхчлена $mx^2 + (m - 3)x - 3$ приравняем его к нулю. По условию, $m$ — целое число, и мы ищем целые корни $x$.

$mx^2 + (m - 3)x - 3 = 0$

Раскроем скобки и преобразуем выражение путём группировки слагаемых:

$mx^2 + mx - 3x - 3 = 0$

$(mx^2 + mx) - (3x + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$mx(x + 1) - 3(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x + 1)(mx - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

1. Первый случай: $x + 1 = 0$

Из этого уравнения находим корень:

$x = -1$

Этот корень является целым числом. Он не зависит от значения параметра $m$. Чтобы убедиться в этом, можно подставить $x=-1$ в исходное уравнение: $m(-1)^2 + (m-3)(-1) - 3 = m - (m-3) - 3 = m - m + 3 - 3 = 0$. Равенство $0=0$ верно при любом целом $m$. Таким образом, $x=-1$ всегда является корнем.

2. Второй случай: $mx - 3 = 0$

Из этого уравнения получаем $mx = 3$.

Если $m = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$, что является неверным равенством и не имеет решений. Однако при $m=0$ у нас остаётся корень $x=-1$ из первого случая (исходное уравнение при $m=0$ имеет вид $-3x-3=0$, откуда $x=-1$).

Если $m \neq 0$, то мы можем выразить $x$:

$x = \frac{3}{m}$

Поскольку мы ищем целые корни $x$, а $m$ по условию является целым числом, то $x$ будет целым только в том случае, если $m$ является целым делителем числа 3.

Целыми делителями числа 3 являются числа $1, -1, 3, -3$.

Найдём соответствующие целые корни $x$ для каждого возможного значения $m$:

- при $m = 1$, $x = \frac{3}{1} = 3$;

- при $m = -1$, $x = \frac{3}{-1} = -3$;

- при $m = 3$, $x = \frac{3}{3} = 1$;

- при $m = -3$, $x = \frac{3}{-3} = -1$.

Объединяя все найденные в обоих случаях возможные целые корни, получаем множество: $\{-1, 3, -3, 1\}$.

Ответ: $\{-3, -1, 1, 3\}$.