Страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

199. Докажите, что если $b = \frac{4a}{5}$ и $a > 0$, то верно равенство

$\frac{(a + b)^{\frac{1}{2}} + (a - b)^{\frac{1}{2}}}{(a + b)^{\frac{1}{2}} - (a - b)^{\frac{1}{2}}} = 2.$

Для доказательства данного равенства необходимо преобразовать его левую часть, подставив в нее заданное соотношение $b = \frac{4a}{5}$ при условии $a > 0$.

Сначала убедимся, что выражения под знаком степени $\frac{1}{2}$ (квадратного корня) являются неотрицательными, что необходимо для существования действительных значений выражения.
Найдем $a+b$:
$a + b = a + \frac{4a}{5} = \frac{5a + 4a}{5} = \frac{9a}{5}$
Найдем $a-b$:
$a - b = a - \frac{4a}{5} = \frac{5a - 4a}{5} = \frac{a}{5}$
Поскольку по условию $a > 0$, то оба выражения, $\frac{9a}{5}$ и $\frac{a}{5}$, являются положительными. Это означает, что все корни в выражении определены.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства. Учтем, что $x^{\frac{1}{2}}$ это то же самое, что и $\sqrt{x}$.
$ \frac{(a+b)^{\frac{1}{2}} + (a-b)^{\frac{1}{2}}}{(a+b)^{\frac{1}{2}} - (a-b)^{\frac{1}{2}}} = \frac{(\frac{9a}{5})^{\frac{1}{2}} + (\frac{a}{5})^{\frac{1}{2}}}{(\frac{9a}{5})^{\frac{1}{2}} - (\frac{a}{5})^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{\frac{9a}{5}} + \sqrt{\frac{a}{5}}}{\sqrt{\frac{9a}{5}} - \sqrt{\frac{a}{5}}} $

Упростим выражение $\sqrt{\frac{9a}{5}}$, используя свойство корней $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$:
$\sqrt{\frac{9a}{5}} = \sqrt{9 \cdot \frac{a}{5}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{\frac{a}{5}} = 3\sqrt{\frac{a}{5}}$

Подставим это обратно в дробь:
$ \frac{3\sqrt{\frac{a}{5}} + \sqrt{\frac{a}{5}}}{3\sqrt{\frac{a}{5}} - \sqrt{\frac{a}{5}}} $

Вынесем общий множитель $\sqrt{\frac{a}{5}}$ за скобки в числителе и знаменателе:
$ \frac{\sqrt{\frac{a}{5}}(3 + 1)}{\sqrt{\frac{a}{5}}(3 - 1)} $

Поскольку $a > 0$, то $\sqrt{\frac{a}{5}} \neq 0$, и мы можем сократить дробь на этот множитель:
$ \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 $

В результате преобразований левая часть равенства оказалась равной 2, что соответствует правой части. Таким образом, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

200. Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{1}{6x} + \frac{1}{6+x}$;

б) $y = \sqrt{x} - \sqrt{x-4}$;

в) $y = \frac{1}{1+\frac{1}{x}}$.

а) Область определения функции $y = \frac{1}{6x} + \frac{1}{6+x}$ — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение имеет смысл. Данная функция является суммой двух дробей. Дробь определена, если ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, мы должны найти и исключить значения $x$, которые обращают в ноль знаменатели $6x$ и $6+x$.
1. Найдем значение $x$, при котором первый знаменатель равен нулю:
$6x = 0$
$x = 0$
2. Найдем значение $x$, при котором второй знаменатель равен нулю:
$6+x = 0$
$x = -6$
Таким образом, функция не определена в точках $x=0$ и $x=-6$. Областью определения являются все действительные числа, кроме этих двух.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-6; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{x} - \sqrt{x-4}$ находится из условия, что выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств.
1. Для корня $\sqrt{x}$ должно выполняться условие:
$x \ge 0$
2. Для корня $\sqrt{x-4}$ должно выполняться условие:
$x-4 \ge 0$
Решим второе неравенство:
$x \ge 4$
Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 4 \end{cases}$
Решением этой системы является пересечение множеств решений каждого неравенства, то есть $x \ge 4$.
В виде промежутка область определения записывается как $[4; +\infty)$.
Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ находится из условий, что все знаменатели в выражении не должны быть равны нулю.
1. В выражении присутствует внутренняя дробь $\frac{1}{x}$. Ее знаменатель не должен быть равен нулю:
$x \neq 0$
2. Знаменатель основной дроби, $1 + \frac{1}{x}$, также не должен быть равен нулю. Решим уравнение, чтобы найти недопустимое значение $x$:
$1 + \frac{1}{x} = 0$
$\frac{1}{x} = -1$
$x = -1$
Значит, $x \neq -1$.
Объединяя оба условия, получаем, что область определения функции состоит из всех действительных чисел, за исключением $x=0$ и $x=-1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

201. Длина прямоугольника ABCD (рис. 48) равна 10 см, а ширина — 7 см. Отрезок MN передвигается от отрезка AD до отрезка BC, оставаясь параллельным отрезку AD. Площадь $y$ (см$^\text{2}$) закрашенной части есть функция расстояния $x$ (см) от точки D до точки N. Задайте функцию $y = f(x)$ формулой. Найдите область значений этой функции.

Рис. 48

Задайте функцию y = f(x) формулой.
Согласно условию, дан прямоугольник $ABCD$, длина которого равна 10 см, а ширина — 7 см. Из рисунка видно, что $AD$ — это длинная сторона (длина), а $CD$ — короткая (ширина). Таким образом, $AD = 10$ см и $CD = 7$ см.
Закрашенная часть представляет собой прямоугольник $AMND$. Площадь $y$ этого прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон, $AD$ и $DN$.
$y = AD \cdot DN$
По условию, $x$ (см) — это расстояние от точки $D$ до точки $N$, следовательно, $DN = x$.
Подставив известные значения в формулу площади, мы получаем зависимость $y$ от $x$:
$y = 10 \cdot x$
Это и есть искомая формула функции $y = f(x)$.
Ответ: $y = 10x$.

Найдите область значений этой функции.
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Чтобы ее найти, сначала определим область определения — множество всех допустимых значений для $x$.
Переменная $x$ — это длина отрезка $DN$. Точка $N$ принадлежит отрезку $CD$. Движение отрезка $MN$ от $AD$ до $BC$ означает, что точка $N$ перемещается от точки $D$ до точки $C$.
Минимальное значение $x$ достигается, когда точка $N$ совпадает с точкой $D$. В этом случае $x = 0$.
Максимальное значение $x$ достигается, когда точка $N$ совпадает с точкой $C$. В этом случае $x$ равно длине отрезка $CD$, то есть $x = 7$ см.
Таким образом, область определения функции $x \in [0, 7]$, или $0 \le x \le 7$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для границ области определения:
При $x = 0$: $y = 10 \cdot 0 = 0$.
При $x = 7$: $y = 10 \cdot 7 = 70$.
Функция $y = 10x$ является линейной и возрастающей, поэтому ее значения будут лежать между минимальным и максимальным. Таким образом, область значений функции $y$ — это все числа от 0 до 70 включительно.
Ответ: область значений функции — отрезок $[0, 70]$, то есть $0 \le y \le 70$.

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 6 см, а боковая сторона — 5 см. Концы подвижного отрезка, параллельного основанию, лежат на боковых сторонах. Его длина равна $y$ (см), а расстояние от вершины — $x$ (см). Задайте формулой $y$ как функцию от $x$. Найдите область значений этой функции.

Для решения задачи сначала найдем высоту равнобедренного треугольника $ABC$, проведенную к основанию. Пусть $BH$ — высота, опущенная из вершины $B$ на основание $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому точка $H$ — середина $AC$.

Следовательно, $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Гипотенуза $BC = 5$ см, катет $HC = 3$ см. По теореме Пифагора найдем катет $BH$:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$BH^2 + 3^2 = 5^2$

$BH^2 + 9 = 25$

$BH^2 = 25 - 9 = 16$

$BH = \sqrt{16} = 4$ см.

Задайте формулой y как функцию от x.

Пусть $DE$ — подвижный отрезок, параллельный основанию $AC$. Его длина равна $y$. Расстояние от вершины $B$ до этого отрезка равно $x$. Это расстояние измеряется вдоль высоты $BH$. Пусть $K$ — точка пересечения $BH$ и $DE$. Таким образом, $BK = x$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBE$. Так как $DE \parallel AC$, то треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle B$ — общий, $\angle BDE = \angle BAC$ как соответственные).

В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно отношению высот, проведенных к этим сторонам.

$\frac{DE}{AC} = \frac{BK}{BH}$

Подставляем известные значения: $DE=y$, $AC=6$, $BK=x$, $BH=4$.

$\frac{y}{6} = \frac{x}{4}$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить искомую функцию:

$y = \frac{6}{4}x$

$y = \frac{3}{2}x$ или $y = 1.5x$.

Ответ: $y = 1.5x$.

Найдите область значений этой функции.

Область значений функции — это множество всех возможных значений, которые может принимать переменная $y$. Эти значения зависят от возможных значений переменной $x$.

Переменная $x$ представляет собой расстояние от вершины $B$ до отрезка $DE$. Минимальное значение $x$ равно 0, что соответствует случаю, когда отрезок $DE$ находится в самой вершине $B$ (и его длина $y$ равна 0). Максимальное значение $x$ достигается, когда отрезок $DE$ совпадает с основанием $AC$. В этом случае расстояние $x$ равно высоте треугольника $BH$, то есть $x = 4$.

Таким образом, область определения для $x$ — это отрезок $[0, 4]$.

Чтобы найти область значений для $y$, подставим в полученную формулу $y = 1.5x$ крайние значения $x$:

При $x_{min} = 0$: $y = 1.5 \cdot 0 = 0$.

При $x_{max} = 4$: $y = 1.5 \cdot 4 = 6$.

Так как функция $y(x)$ является линейной и непрерывной на отрезке $[0, 4]$, она принимает все значения между $y_{min}=0$ и $y_{max}=6$.

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[0, 6]$.

Ответ: $[0, 6]$.

203. Функция задана формулой $y = \frac{1}{x^2 + 1}$. Пересекает ли её график

ось $x$? ось $y$? В каких координатных четвертях расположен

график этой функции?

Пересекает ли её график ось x?

Чтобы определить, пересекает ли график функции ось x (ось абсцисс), необходимо найти значения $x$, при которых $y = 0$. Для этого решим уравнение:

$ \frac{1}{x^2 + 1} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 1, что не является нулём. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором $y$ был бы равен нулю. Таким образом, график функции не пересекает ось x.

Ответ: нет, график функции не пересекает ось x.

Пересекает ли её график ось y?

Чтобы определить, пересекает ли график функции ось y (ось ординат), необходимо найти значение $y$ при $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в формулу функции:

$ y = \frac{1}{0^2 + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1 $

При $x = 0$ значение функции $y = 1$. Это означает, что график функции пересекает ось y в точке с координатами $(0, 1)$.

Ответ: да, график функции пересекает ось y в точке $(0, 1)$.

В каких координатных четвертях расположен график этой функции?

Расположение графика в координатных четвертях зависит от знаков переменных $x$ и $y$.

1. Проанализируем возможные значения $x$. Знаменатель дроби $x^2 + 1$ не может быть равен нулю, так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, областью определения функции являются все действительные числа, то есть $x$ может быть как положительным, так и отрицательным.

2. Проанализируем возможные значения $y$. Числитель дроби равен 1 (положительное число). Знаменатель $x^2 + 1$ также всегда положителен (так как $x^2 + 1 \ge 1$). Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, $y > 0$ для любого значения $x$.

Поскольку $y$ всегда положителен, график функции полностью расположен выше оси x.

• Когда $x > 0$, имеем $y > 0$. Это соответствует I координатной четверти.
• Когда $x < 0$, имеем $y > 0$. Это соответствует II координатной четверти.

Следовательно, график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.

Ответ: график функции расположен в I и II координатных четвертях.

204. Катер отправляется от пристани A и идёт вниз по реке к пристани B, до которой 60 км. После двухчасовой стоянки на пристани B он возвращается обратно. Расстояние $l$ (км), пройденное катером от пристани A, зависит от времени $t$ (ч), отсчитываемого с момента отправления катера из A до момента возвращения. Собственная скорость катера 16 км/ч, скорость течения реки 4 км/ч. Задайте $l$ как функцию от $t$ формулами, постройте график функции, опишите по графику её свойства и объясните их физический смысл.

Задайте l как функцию от t формулами

Для решения задачи разобьем весь путь катера на три участка и найдем для каждого из них формулу зависимости расстояния $l$ от времени $t$.

1. Движение от пристани А до пристани В (вниз по течению).

Скорость катера при движении вниз по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки:$v_{по~течению} = v_{катера} + v_{течения} = 16 + 4 = 20$ км/ч.

Время, которое катер затратит на путь от А до В (60 км), составляет:$t_1 = \frac{S}{v_{по~течению}} = \frac{60}{20} = 3$ часа.

Таким образом, на временном промежутке $0 \le t \le 3$ расстояние от пристани А вычисляется по формуле линейной зависимости: $l(t) = v_{по~течению} \cdot t = 20t$.

2. Стоянка на пристани В.

Катер прибывает на пристань В в момент времени $t = 3$ ч. По условию, стоянка длится 2 часа. Следовательно, катер находится на пристани В с $t=3$ ч до $t = 3 + 2 = 5$ ч.

В течение этого времени расстояние от пристани А не изменяется и остается равным 60 км.Для временного промежутка $3 < t \le 5$ функция имеет вид: $l(t) = 60$.

3. Движение от пристани В до пристани А (против течения).

Катер отправляется обратно в $t = 5$ ч. Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения реки:$v_{против~течения} = v_{катера} - v_{течения} = 16 - 4 = 12$ км/ч.

Время, затраченное на обратный путь, составляет:$t_3 = \frac{S}{v_{против~течения}} = \frac{60}{12} = 5$ часов.

Катер вернется на пристань А в момент времени $t = 5 + 5 = 10$ ч.На временном промежутке $5 < t \le 10$ расстояние от пристани А уменьшается. Время, прошедшее с момента отправления из В, равно $(t-5)$. За это время катер пройдет расстояние $12 \cdot (t-5)$ км. Расстояние от пристани А будет равно:$l(t) = 60 - 12(t-5) = 60 - 12t + 60 = 120 - 12t$.

Объединив все три участка, мы получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: Функция зависимости расстояния $l$ (в км) от времени $t$ (в ч) задается следующей системой:$l(t) = \begin{cases} 20t, & \text{если } 0 \le t \le 3 \\ 60, & \text{если } 3 < t \le 5 \\ 120 - 12t, & \text{если } 5 < t \le 10 \end{cases}$

Постройте график функции

График функции $l(t)$ представляет собой ломаную линию, состоящую из трех отрезков на координатной плоскости $(t, l)$, где ось абсцисс — время $t$ в часах, а ось ординат — расстояние $l$ в километрах.

• При $0 \le t \le 3$ график является отрезком прямой, проходящим через точки $(0, 0)$ и $(3, 60)$.
• При $3 < t \le 5$ график является горизонтальным отрезком, соединяющим точки $(3, 60)$ и $(5, 60)$.
• При $5 < t \le 10$ график является отрезком прямой, соединяющим точки $(5, 60)$ и $(10, 0)$.

Ответ: График функции $l(t)$ построен и представлен на рисунке выше.

Опишите по графику её свойства и объясните их физический смысл

Область определения функции: $D(l) = [0; 10]$.
Физический смысл: всё путешествие катера, включая отправление из А, стоянку в В и возвращение в А, занимает 10 часов.

Область значений функции: $E(l) = [0; 60]$.
Физический смысл: минимальное расстояние от катера до пристани А равно 0 км (когда катер находится в точке А), а максимальное — 60 км (когда катер находится в точке В), что равно расстоянию между пристанями.

Промежутки монотонности:
- Функция возрастает на промежутке $[0; 3]$. Физический смысл: катер удаляется от пристани А, двигаясь вниз по течению со скоростью 20 км/ч. Расстояние $l$ увеличивается.
- Функция постоянна на промежутке $(3; 5]$. Физический смысл: катер стоит на пристани В, поэтому его расстояние от пристани А не изменяется.
- Функция убывает на промежутке $(5; 10]$. Физический смысл: катер движется обратно к пристани А против течения со скоростью 12 км/ч, поэтому расстояние $l$ уменьшается.

Нули функции: $l(t) = 0$ при $t=0$ и $t=10$.
Физический смысл: в начальный момент времени ($t=0$) и в конечный момент времени ($t=10$) катер находится на пристани А, т.е. на нулевом расстоянии от неё.

Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $[0; 10]$.
Физический смысл: положение катера изменяется плавно, без мгновенных "прыжков" в пространстве. Движение является непрерывным процессом.

Точки излома графика: $t=3$ и $t=5$.
Физический смысл: в эти моменты времени происходит резкое изменение скорости движения катера относительно пристани А. Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости. В $t=3$ катер останавливается (скорость меняется с 20 км/ч до 0). В $t=5$ катер начинает движение в обратном направлении (скорость меняется с 0 на -12 км/ч).

Ответ: Основные свойства функции, определенные по графику, и их физический смысл подробно описаны выше.