Номер 203, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

203. Функция задана формулой $y = \frac{1}{x^2 + 1}$. Пересекает ли её график

ось $x$? ось $y$? В каких координатных четвертях расположен

график этой функции?

Пересекает ли её график ось x?

Чтобы определить, пересекает ли график функции ось x (ось абсцисс), необходимо найти значения $x$, при которых $y = 0$. Для этого решим уравнение:

$ \frac{1}{x^2 + 1} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 1, что не является нулём. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором $y$ был бы равен нулю. Таким образом, график функции не пересекает ось x.

Ответ: нет, график функции не пересекает ось x.

Пересекает ли её график ось y?

Чтобы определить, пересекает ли график функции ось y (ось ординат), необходимо найти значение $y$ при $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в формулу функции:

$ y = \frac{1}{0^2 + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1 $

При $x = 0$ значение функции $y = 1$. Это означает, что график функции пересекает ось y в точке с координатами $(0, 1)$.

Ответ: да, график функции пересекает ось y в точке $(0, 1)$.

В каких координатных четвертях расположен график этой функции?

Расположение графика в координатных четвертях зависит от знаков переменных $x$ и $y$.

1. Проанализируем возможные значения $x$. Знаменатель дроби $x^2 + 1$ не может быть равен нулю, так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, областью определения функции являются все действительные числа, то есть $x$ может быть как положительным, так и отрицательным.

2. Проанализируем возможные значения $y$. Числитель дроби равен 1 (положительное число). Знаменатель $x^2 + 1$ также всегда положителен (так как $x^2 + 1 \ge 1$). Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, $y > 0$ для любого значения $x$.

Поскольку $y$ всегда положителен, график функции полностью расположен выше оси x.

• Когда $x > 0$, имеем $y > 0$. Это соответствует I координатной четверти.
• Когда $x < 0$, имеем $y > 0$. Это соответствует II координатной четверти.

Следовательно, график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.

Ответ: график функции расположен в I и II координатных четвертях.