Номер 200, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

200. Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{1}{6x} + \frac{1}{6+x}$;

б) $y = \sqrt{x} - \sqrt{x-4}$;

в) $y = \frac{1}{1+\frac{1}{x}}$.

а) Область определения функции $y = \frac{1}{6x} + \frac{1}{6+x}$ — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение имеет смысл. Данная функция является суммой двух дробей. Дробь определена, если ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, мы должны найти и исключить значения $x$, которые обращают в ноль знаменатели $6x$ и $6+x$.
1. Найдем значение $x$, при котором первый знаменатель равен нулю:
$6x = 0$
$x = 0$
2. Найдем значение $x$, при котором второй знаменатель равен нулю:
$6+x = 0$
$x = -6$
Таким образом, функция не определена в точках $x=0$ и $x=-6$. Областью определения являются все действительные числа, кроме этих двух.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-6; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{x} - \sqrt{x-4}$ находится из условия, что выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств.
1. Для корня $\sqrt{x}$ должно выполняться условие:
$x \ge 0$
2. Для корня $\sqrt{x-4}$ должно выполняться условие:
$x-4 \ge 0$
Решим второе неравенство:
$x \ge 4$
Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 4 \end{cases}$
Решением этой системы является пересечение множеств решений каждого неравенства, то есть $x \ge 4$.
В виде промежутка область определения записывается как $[4; +\infty)$.
Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ находится из условий, что все знаменатели в выражении не должны быть равны нулю.
1. В выражении присутствует внутренняя дробь $\frac{1}{x}$. Ее знаменатель не должен быть равен нулю:
$x \neq 0$
2. Знаменатель основной дроби, $1 + \frac{1}{x}$, также не должен быть равен нулю. Решим уравнение, чтобы найти недопустимое значение $x$:
$1 + \frac{1}{x} = 0$
$\frac{1}{x} = -1$
$x = -1$
Значит, $x \neq -1$.
Объединяя оба условия, получаем, что область определения функции состоит из всех действительных чисел, за исключением $x=0$ и $x=-1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.