Номер 195, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

195. Вычислите:

a) $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{-\frac{1}{2}} \cdot 10^{0.1};$

б) $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{9}};$

в) $3 \cdot 9^{0.4} \cdot \sqrt[5]{3};$

г) $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{4}.$

а) Чтобы вычислить значение выражения $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{-\frac{1}{2}} \cdot 10^{0,1}$, воспользуемся свойством степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для этого сложим показатели степеней. Сначала представим все показатели в виде дробей: $0,1 = \frac{1}{10}$.
Сумма показателей равна: $\frac{2}{5} + (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} - \frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4 - 5 + 1}{10} = \frac{0}{10} = 0$.
Таким образом, исходное выражение равно $10^0$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Следовательно, $10^0 = 1$.
Ответ: 1

б) Для вычисления выражения $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{1\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{9}}$ приведем все основания к одному числу — 2. Известно, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$. Также представим смешанную дробь в виде неправильной: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
Подставим эти значения в выражение:
$(2^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot (2^3)^{-\frac{1}{9}}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:
$2^{2 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{3 \cdot (-\frac{1}{9})} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{3}{9}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}$.
Теперь сложим показатели степеней:
$\frac{2}{3} + \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2 + 5 - 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
Исходное выражение равно $2^2 = 4$.
Ответ: 4

в) Чтобы вычислить $3 \cdot 9^{0,4} \cdot \sqrt[5]{3}$, приведем все множители к основанию 3. Представим $9$ как $3^2$, $0,4$ как дробь $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$, и корень как степень $\sqrt[5]{3} = 3^{\frac{1}{5}}$.
Выражение примет вид:
$3^1 \cdot (3^2)^{\frac{2}{5}} \cdot 3^{\frac{1}{5}}$.
Упростим второй множитель: $(3^2)^{\frac{2}{5}} = 3^{2 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{\frac{4}{5}}$.
Теперь выражение выглядит так: $3^1 \cdot 3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{1}{5}}$.
Сложим показатели степеней:
$1 + \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1 + \frac{4+1}{5} = 1 + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2$.
Таким образом, результат равен $3^2 = 9$.
Ответ: 9

г) Для вычисления выражения $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{4}$ приведем все основания к числу 2. Имеем: $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$.
Подставим в исходное выражение:
$(2^3)^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим множители:
$2^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} \cdot 2^{4 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{-1} \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$.
Сложим показатели степеней:
$-1 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = -1 + \frac{4+2}{3} = -1 + \frac{6}{3} = -1 + 2 = 1$.
Результат равен $2^1 = 2$.
Ответ: 2