Страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

192. Найдите значение выражения:

а) $27^{\frac{1}{3}};

б) $25^{-\frac{1}{2}};

в) $0,16^{\frac{3}{2}};

г) $0,64^{-1,5};

д) $5 \cdot 32^{\frac{1}{5}};

е) $-64^{\frac{1}{3}};

ж) $6 \cdot 8^{\frac{1}{3}};

з) $7 \cdot 0,04^{\frac{1}{2}}.$

а) Для вычисления значения выражения $27^{\frac{1}{3}}$ воспользуемся определением степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}$.
Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.
Другой способ — представить основание степени как степень с тем же показателем, что и в знаменателе дроби: $27 = 3^3$.
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3

б) Для вычисления значения выражения $25^{-\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойствами степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$.
$25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.
Также можно представить $25$ как $5^2$:
$25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

в) Для вычисления значения выражения $0,16^{\frac{3}{2}}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,16 = \frac{16}{100}$.
$0,16^{\frac{3}{2}} = (\frac{16}{100})^{\frac{3}{2}}$.
Воспользуемся свойством $(a^b)^c = a^{bc}$: $(\frac{16}{100})^{\frac{3}{2}} = ((\frac{16}{100})^{\frac{1}{2}})^3$.
Вычислим корень: $(\frac{16}{100})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{16}{100}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}} = \frac{4}{10} = 0,4$.
Теперь возведем в куб: $(0,4)^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$.
Ответ: 0,064

г) Для вычисления значения выражения $0,64^{-1,5}$ представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,64 = \frac{64}{100}$ и $-1,5 = -\frac{3}{2}$.
$0,64^{-1,5} = (\frac{64}{100})^{-\frac{3}{2}}$.
Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $(\frac{64}{100})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{100}{64})^{\frac{3}{2}}$.
Теперь воспользуемся свойством $(a^b)^c = a^{bc}$: $(\frac{100}{64})^{\frac{3}{2}} = ((\frac{100}{64})^{\frac{1}{2}})^3$.
Вычислим корень: $(\frac{100}{64})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{100}{64}} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
Возведем в куб: $(\frac{5}{4})^3 = \frac{5^3}{4^3} = \frac{125}{64}$.
Ответ: $\frac{125}{64}$

д) Для вычисления значения выражения $5 \cdot 32^{\frac{1}{5}}$ сначала найдем значение $32^{\frac{1}{5}}$.
$32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32}$.
Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
Теперь выполним умножение: $5 \cdot 2 = 10$.
Ответ: 10

е) Выражение $-64^{\frac{1}{3}}$ означает, что сначала нужно возвести число 64 в степень $\frac{1}{3}$, а затем взять результат с противоположным знаком.
$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64}$.
Так как $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Следовательно, $-64^{\frac{1}{3}} = -4$.
Ответ: -4

ж) Для вычисления значения выражения $6 \cdot 8^{-\frac{1}{3}}$ сначала найдем значение $8^{-\frac{1}{3}}$.
$8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$.
Так как $2^3=8$, то $\sqrt[3]{8}=2$.
Получаем $8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$.
Теперь выполним умножение: $6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.
Ответ: 3

з) Для вычисления значения выражения $7 \cdot 0,04^{-\frac{1}{2}}$ сначала найдем значение $0,04^{-\frac{1}{2}}$.
Представим $0,04$ в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.
$0,04^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{25}{1})^{\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.
Теперь выполним умножение: $7 \cdot 5 = 35$.
Ответ: 35

193. Представьте в виде степени с рациональным показателем:

а) $c^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{3}};$

б) $b^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}};$

в) $a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{6}};$

г) $d^5 d^{\frac{1}{2}};$

д) $x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}};$

е) $y^{\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}};$

ж) $z^5 : z^{-\frac{1}{2}};$

з) $m^{\frac{1}{3}} : m^2;$

и) $(b^2)^{\frac{1}{3}};$

к) $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{9}};$

л) $(c^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}};$

м) $(p^3)^{-\frac{2}{9}}.$

а) Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Применяем это правило к выражению $c^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{3}}$:
$c^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{3}} = c^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
Таким образом, получаем:
$c^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = c^{\frac{5}{6}}$
Ответ: $c^{\frac{5}{6}}$

б) Используем то же правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Для выражения $b^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}$ имеем:
$b^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} = b^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}$
Приводим показатели к общему знаменателю 6:
$-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$
Следовательно:
$b^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{6}}$
Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

в) Снова применяем правило умножения степеней: $a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{6}}$.
Приводим дроби в показателе к общему знаменателю 6:
$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
Результат:
$a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$
Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$

г) Помним, что целое число можно представить в виде степени с показателем 1, но в данном случае $d^5$ уже является степенью. Применяем правило умножения степеней, где $d^5 = d^{\frac{5}{1}}$.
$d^5d^{\frac{1}{2}} = d^{5 + \frac{1}{2}}$
Складываем показатели:
$5 + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} + \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$
Таким образом:
$d^{5 + \frac{1}{2}} = d^{\frac{11}{2}}$
Ответ: $d^{\frac{11}{2}}$

д) Для деления степеней с одинаковым основанием используется правило $a^m : a^n = a^{m-n}$, согласно которому из показателя делимого вычитается показатель делителя.
Применяем это правило к выражению $x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}}$:
$x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} = x^{-\frac{2}{2}} = x^{-1}$
Ответ: $x^{-1}$

е) Используем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Для выражения $y^{\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}}$ имеем:
$y^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}}$
Приводим показатели к общему знаменателю 6:
$\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Следовательно:
$y^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} = y^{\frac{1}{2}}$
Ответ: $y^{\frac{1}{2}}$

ж) Применяем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Для выражения $z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}}$ получаем:
$z^{\frac{1}{5} - (-\frac{1}{2})} = z^{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}}$
Приводим показатели к общему знаменателю 10:
$\frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{7}{10}$
В результате:
$z^{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}} = z^{\frac{7}{10}}$
Ответ: $z^{\frac{7}{10}}$

з) Применяем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, где $m^2 = m^{\frac{2}{1}}$.
$m^{\frac{1}{3}} : m^2 = m^{\frac{1}{3} - 2}$
Вычитаем показатели:
$\frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{5}{3}$
Получаем:
$m^{\frac{1}{3} - 2} = m^{-\frac{5}{3}}$
Ответ: $m^{-\frac{5}{3}}$

и) При возведении степени в степень их показатели перемножаются по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Применяем правило к выражению $(b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$:
$b^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{6}}$
Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

к) Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Для выражения $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{9}}$ имеем:
$a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9}}$
Перемножаем показатели:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$
Результат:
$a^{\frac{2}{3}}$
Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$

л) Снова применяем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Для выражения $(c^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$ получаем:
$c^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = c^{-\frac{1}{6}}$
Ответ: $c^{-\frac{1}{6}}$

м) Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Для выражения $(p^3)^{-\frac{2}{9}}$ получаем:
$p^{3 \cdot (-\frac{2}{9})}$
Перемножаем показатели:
$3 \cdot (-\frac{2}{9}) = -\frac{3 \cdot 2}{9} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$
Результат:
$p^{-\frac{2}{3}}$
Ответ: $p^{-\frac{2}{3}}$

194. Упростите выражение:

а) $(a^{0.4})^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0.8};$

б) $(x^4)^{\frac{3}{5}} \cdot x^{1.6};$

в) $a(a^{-1.2})^{\frac{3}{4}};$

г) $(a^{0.8})^{-\frac{3}{4}} \cdot (a^{-\frac{2}{5}})^{-1.5}.$

а) Для упрощения данного выражения необходимо использовать свойства степеней: возведение степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ и произведение степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сначала применим правило возведения степени в степень к первому множителю:

$(a^{0,4})^{\frac{1}{2}} = a^{0,4 \cdot \frac{1}{2}} = a^{0,2}$

Теперь выражение имеет вид $a^{0,2} \cdot a^{0,8}$. Применим правило умножения степеней:

$a^{0,2} \cdot a^{0,8} = a^{0,2 + 0,8} = a^1 = a$

Ответ: $a$.

б) Упростим выражение $(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{5}} \cdot x^{1,6}$, используя те же свойства степеней.

Преобразуем первый множитель:

$(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{5}} = x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}} = x^{\frac{12}{20}} = x^{\frac{3}{5}}$

Чтобы сложить показатели степеней, представим их в одном виде, например, в виде десятичных дробей. $\frac{3}{5} = 0,6$.

Теперь умножим степени:

$x^{0,6} \cdot x^{1,6} = x^{0,6 + 1,6} = x^{2,2}$

Ответ: $x^{2,2}$.

в) Упростим выражение $a(a^{-1,2})^{\frac{3}{4}}$. Учтем, что $a = a^1$.

Сначала преобразуем второй множитель, возведя степень в степень:

$(a^{-1,2})^{\frac{3}{4}} = a^{-1,2 \cdot \frac{3}{4}}$

Вычислим произведение в показателе степени: $-1,2 \cdot \frac{3}{4} = -1,2 \cdot 0,75 = -0,9$.

Таким образом, $(a^{-1,2})^{\frac{3}{4}} = a^{-0,9}$.

Теперь выполним умножение:

$a^1 \cdot a^{-0,9} = a^{1 + (-0,9)} = a^{1 - 0,9} = a^{0,1}$

Ответ: $a^{0,1}$.

г) Упростим выражение $(a^{0,8})^{-\frac{3}{4}} \cdot (a^{-\frac{2}{5}})^{-1,5}$.

Преобразуем каждый множитель по отдельности, используя правило возведения степени в степень.

Первый множитель:

$(a^{0,8})^{-\frac{3}{4}} = a^{0,8 \cdot (-\frac{3}{4})} = a^{0,8 \cdot (-0,75)} = a^{-0,6}$

Второй множитель. Представим показатели в виде десятичных или обыкновенных дробей: $-\frac{2}{5} = -0,4$ и $-1,5 = -\frac{3}{2}$.

$(a^{-\frac{2}{5}})^{-1,5} = a^{(-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{3}{2})} = a^{\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 2}} = a^{\frac{3}{5}} = a^{0,6}$

Теперь перемножим полученные результаты:

$a^{-0,6} \cdot a^{0,6} = a^{-0,6 + 0,6} = a^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$).

Ответ: $1$.

195. Вычислите:

a) $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{-\frac{1}{2}} \cdot 10^{0.1};$

б) $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{9}};$

в) $3 \cdot 9^{0.4} \cdot \sqrt[5]{3};$

г) $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{4}.$

а) Чтобы вычислить значение выражения $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{-\frac{1}{2}} \cdot 10^{0,1}$, воспользуемся свойством степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для этого сложим показатели степеней. Сначала представим все показатели в виде дробей: $0,1 = \frac{1}{10}$.
Сумма показателей равна: $\frac{2}{5} + (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} - \frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4 - 5 + 1}{10} = \frac{0}{10} = 0$.
Таким образом, исходное выражение равно $10^0$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Следовательно, $10^0 = 1$.
Ответ: 1

б) Для вычисления выражения $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{1\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{9}}$ приведем все основания к одному числу — 2. Известно, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$. Также представим смешанную дробь в виде неправильной: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
Подставим эти значения в выражение:
$(2^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot (2^3)^{-\frac{1}{9}}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:
$2^{2 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{3 \cdot (-\frac{1}{9})} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{3}{9}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}$.
Теперь сложим показатели степеней:
$\frac{2}{3} + \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2 + 5 - 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
Исходное выражение равно $2^2 = 4$.
Ответ: 4

в) Чтобы вычислить $3 \cdot 9^{0,4} \cdot \sqrt[5]{3}$, приведем все множители к основанию 3. Представим $9$ как $3^2$, $0,4$ как дробь $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$, и корень как степень $\sqrt[5]{3} = 3^{\frac{1}{5}}$.
Выражение примет вид:
$3^1 \cdot (3^2)^{\frac{2}{5}} \cdot 3^{\frac{1}{5}}$.
Упростим второй множитель: $(3^2)^{\frac{2}{5}} = 3^{2 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{\frac{4}{5}}$.
Теперь выражение выглядит так: $3^1 \cdot 3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{1}{5}}$.
Сложим показатели степеней:
$1 + \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1 + \frac{4+1}{5} = 1 + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2$.
Таким образом, результат равен $3^2 = 9$.
Ответ: 9

г) Для вычисления выражения $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{4}$ приведем все основания к числу 2. Имеем: $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$.
Подставим в исходное выражение:
$(2^3)^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим множители:
$2^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} \cdot 2^{4 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{-1} \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$.
Сложим показатели степеней:
$-1 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = -1 + \frac{4+2}{3} = -1 + \frac{6}{3} = -1 + 2 = 1$.
Результат равен $2^1 = 2$.
Ответ: 2

196. Представьте:

a) в виде квадрата $(x > 0)$: $x^6$, $x^5$, $x^{-8}$, $x^{-1}$, $x$, $x^{\frac{1}{3}};

б) в виде куба $(y > 0)$: $y^6$, $y^7$, $y$, $y^{\frac{1}{2}}$, $y^{-1.5}$, $y^{0.2}$, $y^{-\frac{2}{9}}.

а) Чтобы представить выражение в виде квадрата, необходимо найти такое основание, которое при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для степенного выражения $x^k$ (где $x > 0$) это будет $(x^{\frac{k}{2}})^2$, так как по свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим это правило для каждого выражения.

$x^6 = (x^{\frac{6}{2}})^2 = (x^3)^2$

$x^5 = (x^{\frac{5}{2}})^2$

$x^{-8} = (x^{\frac{-8}{2}})^2 = (x^{-4})^2$

$x^{-1} = (x^{\frac{-1}{2}})^2$

$x = x^1 = (x^{\frac{1}{2}})^2$

$x^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2$

Ответ: $(x^3)^2$; $(x^{\frac{5}{2}})^2$; $(x^{-4})^2$; $(x^{-\frac{1}{2}})^2$; $(x^{\frac{1}{2}})^2$; $(x^{\frac{1}{6}})^2$.

б) Аналогично, чтобы представить выражение в виде куба, необходимо найти такое основание, которое при возведении в куб даст исходное выражение. Для степенного выражения $y^k$ (где $y > 0$) это будет $(y^{\frac{k}{3}})^3$. Применим это правило для каждого выражения.

$y^6 = (y^{\frac{6}{3}})^3 = (y^2)^3$

$y^7 = (y^{\frac{7}{3}})^3$

$y = y^1 = (y^{\frac{1}{3}})^3$

$y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (y^{\frac{1}{6}})^3$

$y^{-1,5} = (y^{\frac{-1,5}{3}})^3 = (y^{-0,5})^3 = (y^{-\frac{1}{2}})^3$

$y^{0,2} = y^{\frac{1}{5}} = (y^{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (y^{\frac{1}{15}})^3$

$y^{-\frac{2}{9}} = (y^{-\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (y^{-\frac{2}{27}})^3$

Ответ: $(y^2)^3$; $(y^{\frac{7}{3}})^3$; $(y^{\frac{1}{3}})^3$; $(y^{\frac{1}{6}})^3$; $(y^{-\frac{1}{2}})^3$; $(y^{\frac{1}{15}})^3$; $(y^{-\frac{2}{27}})^3$.

197. Сократите дробь:

а) $\frac{3 + 3^\frac{1}{2}}{3^\frac{1}{2}}$;

б) $\frac{10}{10 - 10^\frac{1}{2}}$;

в) $\frac{x - y}{x^\frac{1}{2} + y^\frac{1}{2}}$;

г) $\frac{b^\frac{1}{2} - 5}{b - 25}$;

д) $\frac{c + 2c^\frac{1}{2}d^\frac{1}{2} + d}{c - d}$;

е) $\frac{m + n}{m^\frac{2}{3} - m^\frac{1}{3}n^\frac{1}{3} + n^\frac{2}{3}}$.

а) Исходная дробь: $ \frac{3 + 3^{\frac{1}{2}}}{3^{-\frac{1}{2}}} $.
Знаменатель $ 3^{-\frac{1}{2}} $ можно записать как $ \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь (перевернутую). $$ \frac{3 + 3^{\frac{1}{2}}}{3^{-\frac{1}{2}}} = (3 + 3^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}} $$ Теперь раскроем скобки, умножив каждый член на $ 3^{\frac{1}{2}} $: $$ 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} $$ Используем свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $: $$ 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + (3^{\frac{1}{2}})^2 = 3^{1+\frac{1}{2}} + 3^1 = 3^{\frac{3}{2}} + 3 $$ Выражение $ 3^{\frac{3}{2}} $ можно записать как $ 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} $ или $ 3\sqrt{3} $. Следовательно, результат: $ 3\sqrt{3} + 3 $.

Ответ: $3\sqrt{3} + 3$

б) Исходная дробь: $ \frac{10}{10 - 10^{\frac{1}{2}}} $.
Перепишем $ 10^{\frac{1}{2}} $ как $ \sqrt{10} $: $ \frac{10}{10 - \sqrt{10}} $.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ 10 + \sqrt{10} $: $$ \frac{10}{10 - \sqrt{10}} \cdot \frac{10 + \sqrt{10}}{10 + \sqrt{10}} = \frac{10(10 + \sqrt{10})}{(10 - \sqrt{10})(10 + \sqrt{10})} $$ В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $: $$ (10)^2 - (\sqrt{10})^2 = 100 - 10 = 90 $$ Теперь подставим это значение обратно в дробь: $$ \frac{10(10 + \sqrt{10})}{90} $$ Сократим дробь на 10: $$ \frac{10 + \sqrt{10}}{9} $$

Ответ: $\frac{10 + \sqrt{10}}{9}$

в) Исходная дробь: $ \frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} $.
Представим числитель $ x - y $ как разность квадратов. Для этого заметим, что $ x = (x^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ y = (y^{\frac{1}{2}})^2 $. $$ x - y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 $$ Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $: $$ (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) $$ Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $$ \frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} $$ Сократим общий множитель $ (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) $ в числителе и знаменателе: $$ x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} $$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

г) Исходная дробь: $ \frac{b^{\frac{1}{2}} - 5}{b - 25} $.
Представим знаменатель $ b - 25 $ как разность квадратов. Заметим, что $ b = (b^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ 25 = 5^2 $. $$ b - 25 = (b^{\frac{1}{2}})^2 - 5^2 $$ Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $: $$ (b^{\frac{1}{2}} - 5)(b^{\frac{1}{2}} + 5) $$ Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь: $$ \frac{b^{\frac{1}{2}} - 5}{(b^{\frac{1}{2}} - 5)(b^{\frac{1}{2}} + 5)} $$ Сократим общий множитель $ (b^{\frac{1}{2}} - 5) $ в числителе и знаменателе: $$ \frac{1}{b^{\frac{1}{2}} + 5} $$

Ответ: $\frac{1}{b^{\frac{1}{2}} + 5}$

д) Исходная дробь: $ \frac{c + 2c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c - d} $.
Числитель $ c + 2c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d $ является полным квадратом. Заметим, что $ c = (c^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ d = (d^{\frac{1}{2}})^2 $. Тогда числитель можно записать как: $$ (c^{\frac{1}{2}})^2 + 2c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + (d^{\frac{1}{2}})^2 $$ Это соответствует формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $, где $ a = c^{\frac{1}{2}} $ и $ b = d^{\frac{1}{2}} $. $$ (c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}})^2 $$ Знаменатель $ c - d $ является разностью квадратов: $$ c - d = (c^{\frac{1}{2}})^2 - (d^{\frac{1}{2}})^2 = (c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}}) $$ Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $$ \frac{(c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}})^2}{(c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}})} $$ Сократим общий множитель $ (c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}}) $: $$ \frac{c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}} $$

Ответ: $\frac{c^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}}$

е) Исходная дробь: $ \frac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} $.
Это выражение похоже на формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $.
Сделаем замену: пусть $ a = m^{\frac{1}{3}} $ и $ b = n^{\frac{1}{3}} $.
Тогда $ a^3 = (m^{\frac{1}{3}})^3 = m $ и $ b^3 = (n^{\frac{1}{3}})^3 = n $. Числитель дроби равен $ m + n = a^3 + b^3 $.
Знаменатель дроби: $$ m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}} = (m^{\frac{1}{3}})^2 - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + (n^{\frac{1}{3}})^2 = a^2 - ab + b^2 $$ Знаменатель является неполным квадратом разности. Подставим замену в исходную дробь: $$ \frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} $$ Используя формулу суммы кубов для числителя, получаем: $$ \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2} $$ Сокращаем общий множитель $ (a^2 - ab + b^2) $: $$ a+b $$ Теперь выполним обратную замену: $$ m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}} $$

Ответ: $m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}$

198. Напишите формулу, выражающую зависимость между переменными $u$ и $v$, если:

а) $u = t^{\frac{2}{3}} + 1, v = t^{-\frac{2}{3}} + 1;$

б) $u = (t + 2)^{\frac{1}{4}}, v = (2 - t)^{\frac{1}{4}}.$

а)

Даны параметрические уравнения: $u = t^{\frac{2}{3}} + 1$ и $v = t^{-\frac{2}{3}} + 1$.

Цель состоит в том, чтобы исключить параметр $t$ и найти формулу, связывающую $u$ и $v$.

Из первого уравнения выразим член, содержащий $t$:

$t^{\frac{2}{3}} = u - 1$

Аналогично, из второго уравнения выразим член, содержащий $t$:

$t^{-\frac{2}{3}} = v - 1$

Используем свойство степеней $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$. В нашем случае это означает, что $t^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$.

Теперь мы можем подставить выражения для $t^{\frac{2}{3}}$ и $t^{-\frac{2}{3}}$, которые мы получили ранее:

$v - 1 = \frac{1}{u - 1}$

Для того чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на $(u - 1)$. Заметим, что $t^{\frac{2}{3}} = (t^{1/3})^2$ всегда неотрицательно. Для существования $v$, $t$ не может быть равно нулю, поэтому $t^{\frac{2}{3}} > 0$. Следовательно, $u = t^{\frac{2}{3}} + 1 > 1$, что означает $u - 1 \neq 0$.

В результате умножения получаем искомую зависимость:

$(u - 1)(v - 1) = 1$

Это уравнение можно также раскрыть и упростить:

$uv - u - v + 1 = 1$

$uv - u - v = 0$

$uv = u + v$

Оба варианта являются верными.

Ответ: $(u - 1)(v - 1) = 1$ (или $uv = u + v$).

б)

Даны параметрические уравнения: $u = (t + 2)^{\frac{1}{4}}$ и $v = (2 - t)^{\frac{1}{4}}$.

Чтобы исключить параметр $t$, возведем оба уравнения в четвертую степень.

Для первого уравнения:

$u^4 = \left((t + 2)^{\frac{1}{4}}\right)^4$

$u^4 = t + 2$

Для второго уравнения:

$v^4 = \left((2 - t)^{\frac{1}{4}}\right)^4$

$v^4 = 2 - t$

Теперь у нас есть система из двух простых уравнений относительно $t$:

$\begin{cases} u^4 = t + 2 \\ v^4 = 2 - t \end{cases}$

Чтобы исключить $t$, проще всего сложить эти два уравнения:

$u^4 + v^4 = (t + 2) + (2 - t)$

$u^4 + v^4 = t + 2 + 2 - t$

$u^4 + v^4 = 4$

Это и есть искомая формула, выражающая зависимость между $u$ и $v$. Следует отметить, что поскольку $u$ и $v$ являются результатами извлечения корня четной степени, их значения должны быть неотрицательными ($u \ge 0$, $v \ge 0$).

Ответ: $u^4 + v^4 = 4$.