Страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1 Какую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем?

Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию, которую можно задать формулой вида $y = x^n$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $n$ — заданное натуральное число, которое называют показателем степени. Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые при счете ($1, 2, 3, \ldots$). Таким образом, для степенной функции с натуральным показателем верно, что $n \in \mathbb{N}$.

Примеры таких функций:

• $y = x$ (здесь показатель степени $n=1$)
• $y = x^2$ (квадратичная функция, показатель $n=2$)
• $y = x^3$ (кубическая функция, показатель $n=3$)
• $y = x^{10}$ (показатель $n=10$)

Ключевой особенностью является то, что основание степени ($x$) является переменной, а показатель степени ($n$) — постоянным натуральным числом. Областью определения для всех степенных функций с натуральным показателем является множество всех действительных чисел, то есть $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию вида $y = x^n$, где $n$ — натуральное число.

2 Сформулируйте свойства степенной функции с чётным показателем. Покажите схематически, как выглядит график этой функции.

Свойства степенной функции с чётным показателем

Степенная функция с чётным натуральным показателем — это функция вида $y = x^{2n}$, где $n$ — натуральное число ($n \in N$). Примерами таких функций являются $y=x^2$, $y=x^4$, $y=x^6$ и так далее. Основные свойства этих функций совпадают.

• Область определения: функция определена для любых действительных значений аргумента. $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.
• Область значений: так как любое число, возведенное в чётную степень, является неотрицательным, область значений функции — все неотрицательные числа. $E(f) = [0; +\infty)$ или $y \ge 0$.
• Чётность: функция является чётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = (-x)^{2n} = x^{2n} = f(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Нули функции: функция обращается в ноль только в одной точке. $y = 0$ при $x = 0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения на всей области определения, кроме точки $x=0$. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Монотонность:
  • функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$;
  • функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x = 0$ функция достигает своего минимального значения. $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума. Максимума у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Степенная функция с чётным показателем $y=x^{2n}$ ($n \in N$) определена для всех $x \in \mathbb{R}$, принимает только неотрицательные значения ($y \ge 0$), является чётной (график симметричен относительно оси Oy), убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка $(0,0)$ является точкой минимума.

Схематический график степенной функции с чётным показателем

График степенной функции с чётным показателем $2n$ — это кривая, которую часто называют параболой порядка $2n$. Она имеет следующие характерные черты:

• График симметричен относительно оси Oy.
• График проходит через начало координат $(0, 0)$, которое является вершиной кривой и точкой минимума.
• График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
• Ветви графика направлены вверх и расположены в I и II координатных четвертях.
• С увеличением показателя $n$ (например, при переходе от $y=x^2$ к $y=x^4$), кривая становится более "плоской" вблизи нуля (на интервале $(-1, 1)$) и растёт "круче" при $|x| > 1$.

Ниже представлен схематический вид графика функции $y=x^{2n}$.

Ответ: График степенной функции с чётным показателем представляет собой кривую, симметричную относительно оси ординат, проходящую через начало координат, где у неё находится точка минимума. Ветви графика направлены вверх и расположены в I и II координатных четвертях.

3 Сформулируйте свойства степенной функции с нечётным показателем $n$. Покажите схематически, как выглядит график этой функции при $n > 1$.

Свойства степенной функции с нечётным показателем n

Рассмотрим степенную функцию вида $y = x^n$, где $n$ — нечётное натуральное число, большее 1 (например, $n=3, 5, 7, \dots$).

• Область определения: Вся числовая прямая, так как выражение $x^n$ имеет смысл для любого действительного числа $x$. Записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: Множество всех действительных чисел. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$, а при $x \to -\infty$, $y \to -\infty$. Записывается как $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.
• Чётность/нечётность: Функция является нечётной. Это свойство следует из того, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство: $y(-x) = (-x)^n = (-1)^n \cdot x^n = -x^n = -y(x)$, поскольку $n$ — нечётное число. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (0,0).
• Нули функции: Функция равна нулю только при $x=0$. Таким образом, график пересекает оси координат в единственной точке — начале координат (0,0).
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x > 0$, то есть на промежутке $(0; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. Её производная $y' = nx^{n-1}$. Поскольку $n>1$ и $n$ нечётное, показатель степени $n-1$ является чётным и неотрицательным числом. Следовательно, $x^{n-1} \ge 0$ для всех $x$, а значит и производная $y' \ge 0$ (равенство достигается только при $x=0$).
• Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума или минимума. Точка $x=0$ является критической, но не точкой экстремума, так как производная не меняет знак при переходе через неё.
• Выпуклость и точки перегиба: Вторая производная $y'' = n(n-1)x^{n-2}$. Поскольку $n>1$ и $n$ нечётное, показатель $n-2$ является нечётным.
  • При $x < 0$ вторая производная $y'' < 0$, следовательно, на промежутке $(-\infty; 0)$ функция выпукла вверх.
  • При $x > 0$ вторая производная $y'' > 0$, следовательно, на промежутке $(0; +\infty)$ функция выпукла вниз (вогнута).
  Точка $(0,0)$ является точкой перегиба, так как в ней меняется направление выпуклости графика.

Ответ: Степенная функция $y=x^n$ с нечётным натуральным показателем $n>1$ определена, непрерывна и строго возрастает на всей числовой оси. Её область определения и область значений — множество всех действительных чисел. Функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат. График проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба. Функция не имеет экстремумов.

Схематический график функции при n > 1

График функции $y = x^n$ при нечётном $n > 1$ (например, для $n=3$ это кубическая парабола) представляет собой кривую, расположенную в I и III координатных четвертях. Он проходит через начало координат, где имеет горизонтальную касательную, и симметричен относительно этой точки. С ростом $n$ график становится более "плоским" на интервале $(-1, 1)$ и более "крутым" за его пределами.

Ответ: Схематический график функции $y = x^n$ с нечётным показателем $n>1$ представлен на рисунке. Это возрастающая кривая, симметричная относительно начала координат, которая проходит через точки $(-1, -1), (0, 0), (1, 1)$ и имеет в точке $(0,0)$ перегиб.

4 Дайте определение корня $n$-й степени.

Общее определение
Корнем n-й степени из числа $a$ (где $n$ — натуральное число и $n \ge 2$) называется такое число $x$, которое при возведении в степень $n$ дает в результате число $a$.
Математически это можно записать следующим образом: $\sqrt[n]{a} = x$, что равносильно равенству $x^n = a$.
В выражении $\sqrt[n]{a}$:
• $a$ называется подкоренным выражением.
• $n$ называется показателем корня.

Существование и количество корней в множестве действительных чисел зависит от четности показателя корня $n$ и знака подкоренного выражения $a$.

Корень четной степени (когда $n$ — четное число)
Пусть $n = 2k$, где $k$ — натуральное число (например, $\sqrt{a}$, $\sqrt[4]{a}$, $\sqrt[6]{a}$ и т.д.).
• Если подкоренное выражение отрицательно ($a < 0$), то корень четной степени в множестве действительных чисел не существует, так как любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным. Например, выражение $\sqrt[4]{-16}$ не имеет смысла в действительных числах.
• Если $a = 0$, то корень равен нулю: $\sqrt[n]{0} = 0$.
• Если $a > 0$, то существуют два действительных корня, которые являются противоположными числами. Например, для уравнения $x^4 = 81$ корнями являются числа $3$ и $-3$.
Для устранения неоднозначности вводится понятие арифметического корня. Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$. По умолчанию знак $\sqrt[n]{a}$ (при четном $n$ и $a \ge 0$) обозначает именно арифметический (неотрицательный) корень. Таким образом, $\sqrt[4]{81} = 3$.

Корень нечетной степени (когда $n$ — нечетное число)
Пусть $n = 2k+1$, где $k$ — натуральное число (например, $\sqrt[3]{a}$, $\sqrt[5]{a}$, $\sqrt[7]{a}$ и т.д.).
Корень нечетной степени существует и является единственным для любого действительного числа $a$.
• Знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.
• Например, $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.
• Например, $\sqrt[5]{-32} = -2$, так как $(-2)^5 = -32$.
• Например, $\sqrt[3]{0} = 0$.

Ответ: Корнем $n$-й степени из числа $a$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называется число $x$, такое, что его $n$-я степень равна $a$, то есть $x^n = a$.