Страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

$y = \sqrt[3]{x}$

Рис. 45

174. На рисунке 45 изображён график функции $y = \sqrt[3]{x}$.

Найдите, используя этот график:

а) $\sqrt[3]{0,5}$;

б) $\sqrt[3]{4}$;

в) $\sqrt[3]{-2}$;

г) $\sqrt[3]{6}$.

Для нахождения приближенных значений кубических корней воспользуемся предоставленным графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$. Алгоритм следующий: для каждого значения $a$, корень из которого нужно найти ($\sqrt[3]{a}$), мы находим точку $x=a$ на оси абсцисс, затем находим соответствующую ей точку на графике и определяем ее координату по оси ординат (y).

а) $\sqrt[3]{0,5}$

На оси $x$ находим значение 0,5. Поднимаемся от этой точки вертикально до пересечения с графиком. От точки пересечения движемся горизонтально к оси $y$. Полученное значение составляет примерно 0,8.

Ответ: $\sqrt[3]{0,5} \approx 0,8$.

б) $\sqrt[3]{4}$

На оси $x$ находим значение 4. Поднимаемся от этой точки вертикально до пересечения с графиком. От точки пересечения движемся горизонтально к оси $y$. Полученное значение составляет примерно 1,6.

Ответ: $\sqrt[3]{4} \approx 1,6$.

в) $\sqrt[3]{-2}$

На оси $x$ находим значение -2. Опускаемся от этой точки вертикально до пересечения с графиком. От точки пересечения движемся горизонтально к оси $y$. Полученное значение составляет примерно -1,25.

Ответ: $\sqrt[3]{-2} \approx -1,25$.

г) $\sqrt[3]{6}$

На оси $x$ находим значение 6. Поднимаемся от этой точки вертикально до пересечения с графиком. От точки пересечения движемся горизонтально к оси $y$. Полученное значение составляет примерно 1,8.

Ответ: $\sqrt[3]{6} \approx 1,8$.

175. Пользуясь калькулятором, найдите с точностью до 0,1:

а) $ \sqrt[3]{7} $;

б) $ \sqrt[3]{20} $;

в) $ \sqrt[4]{30} $;

г) $ \sqrt[5]{-48} $.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{7}$ с точностью до 0,1, необходимо вычислить его приближенное значение с помощью калькулятора, а затем округлить результат до одного знака после запятой.

Вычисление на калькуляторе дает:
$\sqrt[3]{7} \approx 1,91293118...$

Для округления до десятых смотрим на вторую цифру после запятой. В данном случае это цифра 1. Так как $1 < 5$, то первую цифру после запятой оставляем без изменений, а последующие отбрасываем.
$1,91293118... \approx 1,9$.

Ответ: 1,9.

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{20}$ с точностью до 0,1, воспользуемся калькулятором.

Вычисление на калькуляторе дает:
$\sqrt[3]{20} \approx 2,71441761...$

Для округления до десятых смотрим на вторую цифру после запятой. Это цифра 1. Так как $1 < 5$, то округляем в меньшую сторону, отбрасывая цифры после первой после запятой.
$2,71441761... \approx 2,7$.

Ответ: 2,7.

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{30}$ с точностью до 0,1, используем калькулятор.

Вычисление на калькуляторе дает:
$\sqrt[4]{30} \approx 2,34034731...$

Для округления до десятых смотрим на вторую цифру после запятой. Это цифра 4. Так как $4 < 5$, то округляем в меньшую сторону.
$2,34034731... \approx 2,3$.

Ответ: 2,3.

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[5]{-48}$ с точностью до 0,1, воспользуемся калькулятором. Так как корень нечетной степени (5) из отрицательного числа является отрицательным числом, мы можем вынести знак минус за знак корня: $\sqrt[5]{-48} = -\sqrt[5]{48}$.

Вычислим на калькуляторе значение $\sqrt[5]{48}$:
$\sqrt[5]{48} \approx 2,1689435...$

Для округления до десятых смотрим на вторую цифру после запятой. Это цифра 6. Так как $6 \ge 5$, то округляем в большую сторону, то есть увеличиваем первую цифру после запятой на единицу.
$2,1689435... \approx 2,2$.

Таким образом, $\sqrt[5]{-48} \approx -2,2$.

Ответ: -2,2.

176. Найдите с точностью до 0,01 значение выражения, пользуясь калькулятором:

а) $\sqrt[3]{10}$;

б) $\sqrt[3]{-38}$;

в) $\sqrt[6]{18}$;

г) $\sqrt[4]{60}$.

Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{10}$ с точностью до 0,01, воспользуемся калькулятором для вычисления значения корня, а затем округлим результат до двух знаков после запятой.
$\sqrt[3]{10} \approx 2,15443...$
Для округления до сотых необходимо посмотреть на третью цифру после запятой. В данном случае это цифра 4. Так как $4 < 5$, то предыдущую цифру (разряд сотых) оставляем без изменений, а все последующие отбрасываем.
Следовательно, $\sqrt[3]{10} \approx 2,15$.
Ответ: 2,15

Для нахождения значения выражения $\sqrt[3]{-38}$ воспользуемся калькулятором. Корень нечетной степени (в данном случае третьей) из отрицательного числа является отрицательным числом. Это можно записать так: $\sqrt[3]{-38} = -\sqrt[3]{38}$.
Вычислим значение $\sqrt[3]{38}$ на калькуляторе:
$\sqrt[3]{38} \approx 3,36197...$
Соответственно, $\sqrt[3]{-38} \approx -3,36197...$
Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону по модулю.
Следовательно, $\sqrt[3]{-38} \approx -3,36$.
Ответ: -3,36

Для нахождения значения выражения $\sqrt[6]{18}$ воспользуемся калькулятором.
$\sqrt[6]{18} \approx 1,61868...$
Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на единицу.
$1,61... \rightarrow 1,62$.
Следовательно, $\sqrt[6]{18} \approx 1,62$.
Ответ: 1,62

Для нахождения значения выражения $\sqrt[4]{60}$ воспользуемся калькулятором.
$\sqrt[4]{60} \approx 2,78315...$
Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 3. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.
Следовательно, $\sqrt[4]{60} \approx 2,78$.
Ответ: 2,78

177. Постройте график функции:

а) $y=(x-2)^2$;

б) $y=-\frac{1}{2}x^2+5$;

в) $y=2x^2+5x.

а)

График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола. Её можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы вправо.

Основные характеристики параболы:

• Вершина параболы: Стандартная парабола $y = x^2$ имеет вершину в точке $(0, 0)$. При сдвиге на 2 единицы вправо вершина перемещается в точку $(2, 0)$.
• Ось симметрии: Прямая, проходящая через вершину параллельно оси ординат. Уравнение оси симметрии: $x = 2$.
• Направление ветвей: Коэффициент при квадратичном члене положителен (равен 1), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих параболе:

• Если $x = 2$, то $y = (2 - 2)^2 = 0$. Точка $(2, 0)$ — вершина.
• Если $x = 1$, то $y = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $x = 3$, то $y = (3 - 2)^2 = 1^2 = 1$. Точка $(3, 1)$.
• Если $x = 0$, то $y = (0 - 2)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$ — пересечение с осью Oy.
• Если $x = 4$, то $y = (4 - 2)^2 = 2^2 = 4$. Точка $(4, 4)$.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2$ — парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх, а осью симметрии является прямая $x = 2$. График проходит через точки $(1, 1)$, $(3, 1)$, $(0, 4)$, $(4, 4)$.

б)

График функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$ — это парабола. Её можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:

1. Отражение относительно оси абсцисс (Ox) из-за отрицательного коэффициента.
2. Вертикальное сжатие в 2 раза (коэффициент $\frac{1}{2}$).
3. Сдвиг (параллельный перенос) вдоль оси ординат (Oy) на 5 единиц вверх.

Найдем ключевые характеристики параболы:

• Вершина параболы: Данная функция имеет вид $y = ax^2+c$, её вершина находится в точке $(0, c)$. В нашем случае вершина находится в точке $(0, 5)$.
• Ось симметрии: Так как горизонтального сдвига нет, осью симметрии является ось ординат (Oy), её уравнение $x = 0$.
• Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$, что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем несколько точек:

• Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$ — вершина.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{1}{2}(2)^2 + 5 = -2 + 5 = 3$. Точка $(2, 3)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{1}{2}(-2)^2 + 5 = -2 + 5 = 3$. Точка $(-2, 3)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\frac{1}{2}(4)^2 + 5 = -8 + 5 = -3$. Точка $(4, -3)$.
• Если $x = -4$, то $y = -\frac{1}{2}(-4)^2 + 5 = -8 + 5 = -3$. Точка $(-4, -3)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$ — парабола с вершиной в точке $(0, 5)$, ветви которой направлены вниз, а осью симметрии является прямая $x = 0$ (ось Oy). График проходит через точки $(2, 3)$, $(-2, 3)$, $(4, -3)$, $(-4, -3)$.

в)

График функции $y = 2x^2 + 5x$ — это парабола. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 2$, $b = 5$, $c = 0$.

Для построения графика найдем его основные элементы:

1. Направление ветвей: Коэффициент $a = 2$ положителен ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:
   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4} = -1.25$
   $y_0 = y(x_0) = 2(-\frac{5}{4})^2 + 5(-\frac{5}{4}) = 2(\frac{25}{16}) - \frac{25}{4} = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1.25, -3.125)$.
3. Ось симметрии: Прямая, проходящая через вершину, $x = x_0$. Уравнение оси симметрии: $x = -1.25$.
4. Точки пересечения с осями координат:
   • С осью ординат (Oy): подставляем $x = 0$.
     $y = 2(0)^2 + 5(0) = 0$. Точка пересечения с Oy — $(0, 0)$.
   • С осью абсцисс (Ox): подставляем $y = 0$.
     $2x^2 + 5x = 0$
     $x(2x + 5) = 0$
     $x_1 = 0$ или $2x + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{2} = -2.5$.
     Точки пересечения с Ox — $(0, 0)$ и $(-2.5, 0)$.
5. Дополнительные точки: Для более точного построения найдем еще пару симметричных точек. Возьмем $x = 1$:
   $y = 2(1)^2 + 5(1) = 2 + 5 = 7$. Точка $(1, 7)$.
   Симметричная ей точка относительно оси $x = -1.25$ будет иметь координату $x = -1.25 - (1 - (-1.25)) = -1.25 - 2.25 = -3.5$. Точка $(-3.5, 7)$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 + 5x$ — парабола с вершиной в точке $(-1.25, -3.125)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x = -1.25$. Парабола пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(-2.5, 0)$.

178. Решите уравнение:

a) $ \frac{x}{x-2} - \frac{8}{x+5} = \frac{14}{x^2 + 3x - 10}; $

б) $ \frac{y}{2y-3} + \frac{1}{y+7} + \frac{17}{2y^2 + 11y - 21} = 0. $

а) $\frac{x}{x-2} - \frac{8}{x+5} = \frac{14}{x^2+3x-10}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Разложим знаменатель третьей дроби на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2+3x-10=0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$. Следовательно, $x^2+3x-10 = (x-2)(x+5)$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -5$.

Перепишем уравнение, используя разложение знаменателя:

$\frac{x}{x-2} - \frac{8}{x+5} = \frac{14}{(x-2)(x+5)}$

Общий знаменатель дробей — $(x-2)(x+5)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей, учитывая ОДЗ:

$x(x+5) - 8(x-2) = 14$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 + 5x - 8x + 16 = 14$

$x^2 - 3x + 16 - 14 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -5$).

Корень $x_1=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2=2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатели $x-2$ и $x^2+3x-10$ обращаются в ноль. Следовательно, $x=2$ является посторонним корнем.

Единственным решением уравнения является $x=1$.

Ответ: 1.

б) $\frac{y}{2y-3} + \frac{1}{y+7} + \frac{17}{2y^2+11y-21} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $y$, при которых знаменатели обращаются в ноль:

$2y-3 \neq 0 \implies y \neq \frac{3}{2}$

$y+7 \neq 0 \implies y \neq -7$

Разложим на множители знаменатель третьей дроби $2y^2+11y-21$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $2y^2+11y-21=0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{-11-17}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7$; $y_2 = \frac{-11+17}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, $2y^2+11y-21 = 2(y - \frac{3}{2})(y+7) = (2y-3)(y+7)$.

ОДЗ: $y \neq \frac{3}{2}$ и $y \neq -7$.

Перепишем исходное уравнение:

$\frac{y}{2y-3} + \frac{1}{y+7} + \frac{17}{(2y-3)(y+7)} = 0$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(2y-3)(y+7)$:

$\frac{y(y+7)}{(2y-3)(y+7)} + \frac{1(2y-3)}{(2y-3)(y+7)} + \frac{17}{(2y-3)(y+7)} = 0$

$\frac{y(y+7) + (2y-3) + 17}{(2y-3)(y+7)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю:

$y(y+7) + 2y - 3 + 17 = 0$

$y^2 + 7y + 2y + 14 = 0$

$y^2 + 9y + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -9, а их произведение равно 14. Корни уравнения: $y_1=-2$ и $y_2=-7$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($y \neq \frac{3}{2}$ и $y \neq -7$).

Корень $y_1=-2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $y_2=-7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $y=-7$ знаменатели $y+7$ и $2y^2+11y-21$ обращаются в ноль. Следовательно, $y=-7$ является посторонним корнем.

Единственным решением уравнения является $y=-2$.

Ответ: -2.

179. Упростите выражение

$(\frac{a - 5}{a^2 - 5a + 25} - \frac{12a - 61}{a^3 + 125}) : \frac{3a - 18}{2a^2 - 10a + 50}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, затем выполним деление.

1) Выполним вычитание дробей в скобках:

$ \frac{a-5}{a^2-5a+25} - \frac{12a-61}{a^3+125} $

Разложим на множители знаменатели. Для знаменателя второй дроби применим формулу суммы кубов $ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $:

$ a^3+125 = a^3+5^3 = (a+5)(a^2-5a+25) $

Знаменатель $ a^2-5a+25 $ является неполным квадратом разности и совпадает со знаменателем первой дроби.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (a+5)(a^2-5a+25) $:

$ \frac{(a-5)(a+5)}{(a+5)(a^2-5a+25)} - \frac{12a-61}{(a+5)(a^2-5a+25)} = \frac{(a-5)(a+5) - (12a-61)}{(a+5)(a^2-5a+25)} $

Упростим числитель. Выражение $ (a-5)(a+5) $ является разностью квадратов $ a^2-25 $. Раскроем скобки:

$ a^2-25 - 12a + 61 = a^2 - 12a + 36 $

Полученный трехчлен $ a^2 - 12a + 36 $ является полным квадратом разности: $ a^2 - 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a-6)^2 $.

Таким образом, результат первого действия:

$ \frac{(a-6)^2}{(a+5)(a^2-5a+25)} $

2) Теперь выполним деление. Для этого умножим результат первого действия на дробь, обратную делителю:

$ \frac{(a-6)^2}{(a+5)(a^2-5a+25)} : \frac{3a-18}{2a^2-10a+50} = \frac{(a-6)^2}{(a+5)(a^2-5a+25)} \cdot \frac{2a^2-10a+50}{3a-18} $

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби, на которую умножаем:

$ 2a^2-10a+50 = 2(a^2-5a+25) $

$ 3a-18 = 3(a-6) $

Подставим разложения в выражение:

$ \frac{(a-6)^2}{(a+5)(a^2-5a+25)} \cdot \frac{2(a^2-5a+25)}{3(a-6)} $

3) Сократим общие множители в числителе и знаменателе.

Сокращаем множитель $ (a^2-5a+25) $ и множитель $ (a-6) $. После сокращения $ (a-6)^2 $ на $ (a-6) $ в числителе останется $ (a-6) $.

$ \frac{(a-6) \cdot 2}{(a+5) \cdot 3} $

В результате получаем упрощенное выражение:

$ \frac{2(a-6)}{3(a+5)} $

Ответ: $ \frac{2(a-6)}{3(a+5)} $