Номер 179, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

179. Упростите выражение

$(\frac{a - 5}{a^2 - 5a + 25} - \frac{12a - 61}{a^3 + 125}) : \frac{3a - 18}{2a^2 - 10a + 50}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, затем выполним деление.

1) Выполним вычитание дробей в скобках:

$ \frac{a-5}{a^2-5a+25} - \frac{12a-61}{a^3+125} $

Разложим на множители знаменатели. Для знаменателя второй дроби применим формулу суммы кубов $ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $:

$ a^3+125 = a^3+5^3 = (a+5)(a^2-5a+25) $

Знаменатель $ a^2-5a+25 $ является неполным квадратом разности и совпадает со знаменателем первой дроби.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (a+5)(a^2-5a+25) $:

$ \frac{(a-5)(a+5)}{(a+5)(a^2-5a+25)} - \frac{12a-61}{(a+5)(a^2-5a+25)} = \frac{(a-5)(a+5) - (12a-61)}{(a+5)(a^2-5a+25)} $

Упростим числитель. Выражение $ (a-5)(a+5) $ является разностью квадратов $ a^2-25 $. Раскроем скобки:

$ a^2-25 - 12a + 61 = a^2 - 12a + 36 $

Полученный трехчлен $ a^2 - 12a + 36 $ является полным квадратом разности: $ a^2 - 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a-6)^2 $.

Таким образом, результат первого действия:

$ \frac{(a-6)^2}{(a+5)(a^2-5a+25)} $

2) Теперь выполним деление. Для этого умножим результат первого действия на дробь, обратную делителю:

$ \frac{(a-6)^2}{(a+5)(a^2-5a+25)} : \frac{3a-18}{2a^2-10a+50} = \frac{(a-6)^2}{(a+5)(a^2-5a+25)} \cdot \frac{2a^2-10a+50}{3a-18} $

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби, на которую умножаем:

$ 2a^2-10a+50 = 2(a^2-5a+25) $

$ 3a-18 = 3(a-6) $

Подставим разложения в выражение:

$ \frac{(a-6)^2}{(a+5)(a^2-5a+25)} \cdot \frac{2(a^2-5a+25)}{3(a-6)} $

3) Сократим общие множители в числителе и знаменателе.

Сокращаем множитель $ (a^2-5a+25) $ и множитель $ (a-6) $. После сокращения $ (a-6)^2 $ на $ (a-6) $ в числителе останется $ (a-6) $.

$ \frac{(a-6) \cdot 2}{(a+5) \cdot 3} $

В результате получаем упрощенное выражение:

$ \frac{2(a-6)}{3(a+5)} $

Ответ: $ \frac{2(a-6)}{3(a+5)} $