Номер 172, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

172. Вычислите:

а) $\left(\sqrt[4]{7}\right)^4$;

б) $\left(\sqrt[7]{-3}\right)^7$;

в) $\left(2\sqrt[4]{3}\right)^4$;

г) $\left(-3\sqrt[3]{2}\right)^3$;

д) $\left(-\sqrt[7]{-28}\right)^7$;

е) $\left(3\sqrt[3]{8}\right)^3$.

а) По определению корня n-ой степени, для любого неотрицательного числа $a$ и натурального числа $n > 1$ выполняется равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В данном случае $n=4$ и $a=7$.
$(\sqrt[4]{7})^4 = 7$.
Ответ: 7

б) По определению корня n-ой степени, для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального числа $n > 1$ выполняется равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В данном случае $n=7$ (нечетное) и $a=-3$.
$(\sqrt[7]{-3})^7 = -3$.
Ответ: -3

в) Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и определение корня n-ой степени.
$(2\sqrt[4]{3})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt[4]{3})^4 = 16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48

г) Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и определение корня n-ой степени.
$(-3\sqrt[3]{2})^3 = (-3)^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 = -27 \cdot 2 = -54$.
Ответ: -54

д) Так как степень 7 нечетная, мы можем вынести минус за скобки, используя свойство $(-x)^n = -x^n$ для нечетных $n$. Затем применяем определение корня.
$(-\sqrt[7]{-28})^7 = (-1)^7 \cdot (\sqrt[7]{-28})^7 = -1 \cdot (-28) = 28$.
Ответ: 28

е) Можно решить двумя способами.
1. Сначала вычислить значение корня: $\sqrt[3]{8} = 2$. Затем подставить в выражение: $(3 \cdot 2)^3 = 6^3 = 216$.
2. Использовать свойство степени произведения: $(3\sqrt[3]{8})^3 = 3^3 \cdot (\sqrt[3]{8})^3 = 27 \cdot 8 = 216$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 216