Номер 167, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

167. Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt[3]{-8}$;

б) $\sqrt[7]{-0,28}$;

в) $\sqrt[4]{-5}$;

г) $\sqrt[5]{(-3)^3}$;

д) $\sqrt[8]{(-2)^3}$;

е) $\sqrt[10]{(-7)^2}$;

ж) $\sqrt[6]{(-5)^3}$;

з) $\sqrt[11]{(-3)^4}$;

и) $\sqrt[12]{(-8)^4}$.

Чтобы определить, имеет ли смысл (определено ли в множестве действительных чисел) выражение вида $\sqrt[n]{a}$, необходимо проанализировать показатель корня $n$ и знак подкоренного выражения $a$.

• Если показатель корня $n$ является нечетным числом ($n = 3, 5, 7, \dots$), то корень можно извлекать из любого действительного числа $a$, как положительного, так и отрицательного.
• Если показатель корня $n$ является четным числом ($n = 2, 4, 6, \dots$), то корень можно извлекать только из неотрицательного числа ($a \ge 0$).

а) $\sqrt[3]{-8}$

Показатель корня $n=3$ — нечетное число. Подкоренное выражение $a=-8$. Так как показатель корня нечетный, выражение имеет смысл для любого действительного $a$.

Ответ: да.

б) $\sqrt[7]{-0,28}$

Показатель корня $n=7$ — нечетное число. Подкоренное выражение $a=-0,28$. Так как показатель корня нечетный, выражение имеет смысл.

Ответ: да.

в) $\sqrt[4]{-5}$

Показатель корня $n=4$ — четное число. Подкоренное выражение $a=-5$ — отрицательное число. Корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не определен. Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: нет.

г) $\sqrt[5]{(-3)^3}$

Сначала вычислим подкоренное выражение: $(-3)^3 = -27$. Выражение принимает вид $\sqrt[5]{-27}$. Показатель корня $n=5$ — нечетное число. Подкоренное выражение отрицательное. Так как показатель нечетный, выражение имеет смысл.

Ответ: да.

д) $\sqrt[8]{(-2)^3}$

Вычислим подкоренное выражение: $(-2)^3 = -8$. Выражение принимает вид $\sqrt[8]{-8}$. Показатель корня $n=8$ — четное число. Подкоренное выражение $a=-8$ — отрицательное. Так как показатель четный, а подкоренное выражение отрицательное, выражение не имеет смысла.

Ответ: нет.

е) $\sqrt[10]{(-7)^2}$

Вычислим подкоренное выражение: $(-7)^2 = 49$. Выражение принимает вид $\sqrt[10]{49}$. Показатель корня $n=10$ — четное число. Подкоренное выражение $a=49$ — положительное. Так как показатель четный и подкоренное выражение неотрицательное, выражение имеет смысл.

Ответ: да.

ж) $\sqrt[6]{(-5)^3}$

Вычислим подкоренное выражение: $(-5)^3 = -125$. Выражение принимает вид $\sqrt[6]{-125}$. Показатель корня $n=6$ — четное число. Подкоренное выражение $a=-125$ — отрицательное. Выражение не имеет смысла.

Ответ: нет.

з) $\sqrt[11]{(-3)^4}$

Вычислим подкоренное выражение: $(-3)^4 = 81$. Выражение принимает вид $\sqrt[11]{81}$. Показатель корня $n=11$ — нечетное число. Подкоренное выражение $a=81$. Так как показатель нечетный, выражение имеет смысл.

Ответ: да.

и) $\sqrt[12]{(-8)^4}$

Вычислим подкоренное выражение: $(-8)^4 = 4096$. Выражение принимает вид $\sqrt[12]{4096}$. Показатель корня $n=12$ — четное число. Подкоренное выражение $a=4096$ — положительное. Так как показатель четный и подкоренное выражение неотрицательное, выражение имеет смысл.

Ответ: да.