Номер 160, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

160. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt[4]{16}$;

б) $\sqrt[5]{32}$;

в) $\sqrt[12]{1}$;

г) $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$;

д) $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$;

е) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{16}$, необходимо найти число, которое при возведении в четвертую степень даст 16. Таким числом является 2, поскольку $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Следовательно, $\sqrt[4]{16} = 2$.
Ответ: $2$.

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[5]{32}$, необходимо найти число, которое при возведении в пятую степень даст 32. Таким числом является 2, поскольку $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Следовательно, $\sqrt[5]{32} = 2$.
Ответ: $2$.

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[12]{1}$, необходимо найти число, которое при возведении в двенадцатую степень даст 1. Любая степень числа 1 равна 1, то есть $1^{12} = 1$.
Следовательно, $\sqrt[12]{1} = 1$.
Ответ: $1$.

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$, необходимо найти число, которое при возведении в куб даст $-\frac{1}{8}$. Так как степень корня (3) нечетная, корень из отрицательного числа является отрицательным числом. Можно воспользоваться свойством корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$.
Проверка: $(-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

д) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.
Теперь извлечем корень из полученной дроби, используя свойство $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}$.
Так как $3^4 = 81$ и $2^4 = 16$, получаем:
$\frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

е) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Теперь извлечем корень из дроби:
$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$.
Так как $3^3 = 27$ и $2^3 = 8$, получаем:
$\frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.