Номер 159, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

159. Докажите, что верно равенство:

a) $\sqrt{361} = 19;$

б) $\sqrt[3]{343} = 7;$

в) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2};$

г) $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3};$

д) $\sqrt[10]{1} = 1;$

е) $\sqrt[7]{0} = 0;$

ж) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3};$

з) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2.$

а) Чтобы доказать равенство $\sqrt{361} = 19$, по определению арифметического квадратного корня нужно проверить выполнение двух условий: правая часть должна быть неотрицательной, и ее квадрат должен быть равен подкоренному выражению.
1. $19 \ge 0$. Условие выполняется.
2. $19^2 = 19 \times 19 = 361$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

б) Чтобы доказать равенство $\sqrt[3]{343} = 7$, по определению корня нечетной степени нужно проверить, что куб правой части равен подкоренному выражению.
Возведем $7$ в куб: $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343$.
Равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

в) Чтобы доказать равенство $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$, по определению арифметического корня четной степени нужно проверить выполнение двух условий: правая часть должна быть неотрицательной, и ее шестая степень должна быть равна подкоренному выражению.
1. $\frac{1}{2} \ge 0$. Условие выполняется.
2. $(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

г) Чтобы доказать равенство $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$, по определению корня нечетной степени нужно проверить, что пятая степень правой части равна подкоренному выражению.
Возведем $\frac{2}{3}$ в пятую степень: $(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$.
Равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

д) Чтобы доказать равенство $\sqrt[10]{1} = 1$, по определению арифметического корня четной степени нужно проверить выполнение двух условий: правая часть должна быть неотрицательной, и ее десятая степень должна быть равна подкоренному выражению.
1. $1 \ge 0$. Условие выполняется.
2. $1^{10} = 1$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

е) Чтобы доказать равенство $\sqrt[7]{0} = 0$, по определению корня нечетной степени нужно проверить, что седьмая степень правой части равна подкоренному выражению.
Возведем $0$ в седьмую степень: $0^7 = 0$.
Равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

ж) Чтобы доказать равенство $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$, по определению арифметического квадратного корня нужно проверить выполнение двух условий: правая часть должна быть неотрицательной, и ее квадрат должен быть равен подкоренному выражению.
1. Проверим, что $2 - \sqrt{3} \ge 0$. Сравним $2$ и $\sqrt{3}$. Так как $2^2 = 4$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$, а $4 > 3$, то $2 > \sqrt{3}$, следовательно, $2 - \sqrt{3} > 0$. Условие выполняется.
2. Возведем выражение $2 - \sqrt{3}$ в квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

з) Чтобы доказать равенство $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2$, по определению арифметического квадратного корня нужно проверить выполнение двух условий: правая часть должна быть неотрицательной, и ее квадрат должен быть равен подкоренному выражению.
1. Проверим, что $\sqrt{5} - 2 \ge 0$. Сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Так как $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $2^2 = 4$, а $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$, следовательно, $\sqrt{5} - 2 > 0$. Условие выполняется.
2. Возведем выражение $\sqrt{5} - 2$ в квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{5} - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.