Номер 155, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

155. Используя график функции $y = x^3$, решите уравнение:

а) $x^3 = x + 1;$

б) $x^3 = 2x;$

в) $x^3 = 2x + 1.$

Для решения данных уравнений графическим методом необходимо построить в одной системе координат график функции $y = x^3$ и график функции, соответствующей правой части каждого уравнения. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться решениями (корнями) уравнения.

а) $x^3 = x + 1$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^3$ (кубическая парабола) и $y_2 = x + 1$ (прямая). График $y_1 = x^3$ — это стандартная кубическая парабола, проходящая через точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8). График $y_2 = x + 1$ — это прямая, которую можно построить по двум точкам, например, (0, 1) и (-1, 0). На чертеже видно, что графики пересекаются только в одной точке. Абсцисса (координата $x$) этой точки и является решением уравнения. Точка пересечения расположена правее $x=1$. По графику можно оценить её значение как $x \approx 1,3$.

Ответ: $x \approx 1,3$.

б) $x^3 = 2x$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = 2x$. График $y_1 = x^3$ — кубическая парабола. График $y_2 = 2x$ — это прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и, например, точку (1, 2). Построив оба графика, мы увидим три точки пересечения. Одна точка находится в начале координат, её абсцисса $x_1 = 0$. Две другие точки симметричны относительно начала координат. По графику можно определить их приблизительные абсциссы: $x_2 \approx 1,4$ и $x_3 \approx -1,4$. В данном случае можно найти и точные значения, решив уравнение аналитически: $x^3 - 2x = 0$ $x(x^2 - 2) = 0$ Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{2}$, $x_3 = -\sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{2}$, $x_3 = -\sqrt{2}$.

в) $x^3 = 2x + 1$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = 2x + 1$. График $y_1 = x^3$ — кубическая парабола. График $y_2 = 2x + 1$ — это прямая, которую можно построить по точкам (0, 1) и (-0.5, 0). Из графика видно, что функции пересекаются в трех точках, абсциссы которых являются корнями уравнения. Одну из точек пересечения можно определить точно, подставив целые числа. При $x = -1$ получаем: $(-1)^3 = -1$ и $2(-1) + 1 = -1$. Равенство верное, значит $x_1 = -1$ — один из корней. Две другие точки пересечения имеют абсциссы, которые можно оценить по графику: $x_2 \approx -0,6$ и $x_3 \approx 1,6$.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 \approx -0,6$, $x_3 \approx 1,6$.