Номер 158, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

158. Докажите, что:

a) число $\frac{1}{2}$ есть арифметический корень четвёртой степени из $\frac{1}{16}$;

б) число 3 есть арифметический кубический корень из 27;

в) число -2 не является арифметическим корнем четвёртой степени из 16;

г) число 0,1 не является арифметическим корнем пятой степени из 0,0001.

а) Чтобы доказать, что число $\frac{1}{2}$ является арифметическим корнем четвёртой степени из $\frac{1}{16}$, необходимо, согласно определению арифметического корня, проверить два условия:
1. Число $\frac{1}{2}$ должно быть неотрицательным. Это условие выполняется, так как $\frac{1}{2} > 0$.
2. Четвёртая степень числа $\frac{1}{2}$ должна быть равна $\frac{1}{16}$. Проверим это равенство: $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$. Это условие также выполняется.
Так как оба условия определения выполнены, утверждение доказано.

Ответ: число $\frac{1}{2}$ является арифметическим корнем четвёртой степени из $\frac{1}{16}$, так как $\frac{1}{2} \ge 0$ и $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.

б) Чтобы доказать, что число 3 является арифметическим кубическим корнем из 27, проверим выполнение двух условий из определения.
1. Число 3 должно быть неотрицательным. Это верно, так как $3 > 0$.
2. Куб числа 3 должен равняться 27. Выполним вычисление: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Это также верно.
Поскольку оба условия выполняются, утверждение доказано.

Ответ: число 3 является арифметическим кубическим корнем из 27, так как $3 \ge 0$ и $3^3 = 27$.

в) Чтобы доказать, что число -2 не является арифметическим корнем четвёртой степени из 16, обратимся к определению. Арифметический корень $n$-й степени из неотрицательного числа по определению является неотрицательным числом.
Число -2 отрицательное ($-2 < 0$), поэтому оно не может быть арифметическим корнем.
Хотя равенство $(-2)^4 = 16$ верно, -2 не является арифметическим корнем из 16 из-за своей отрицательности. Арифметическим корнем четвёртой степени из 16 является число 2.

Ответ: число -2 не является арифметическим корнем четвёртой степени из 16, так как арифметический корень по определению не может быть отрицательным числом.

г) Чтобы доказать, что число 0,1 не является арифметическим корнем пятой степени из 0,0001, нужно проверить, выполняется ли для этих чисел основное свойство корня: $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
В данном случае мы должны проверить, равно ли $0,1^5$ числу 0,0001.
Вычислим степень: $0,1^5 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,00001$.
Сравним полученный результат с числом из условия: $0,00001 \ne 0,0001$.
Поскольку равенство не выполняется, число 0,1 не является арифметическим корнем пятой степени из 0,0001.

Ответ: число 0,1 не является арифметическим корнем пятой степени из 0,0001, так как $0,1^5 = 0,00001$, а не 0,0001.