Номер 156, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

156. Упростите выражение:

a) $\frac{1-y}{1+y} + \frac{y^2+6y}{y^2-1} : \frac{6+y}{1+y}$

б) $\frac{4x^2-49}{2x+5} \cdot \frac{1}{4x^2+14x} - \frac{2x+7}{4x^2-10x}$

а)
Исходное выражение: $ \frac{1-y}{1+y} + \frac{y^2+6y}{y^2-1} : \frac{6+y}{1+y} $.
Согласно порядку действий, сначала выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$ \frac{y^2+6y}{y^2-1} : \frac{6+y}{1+y} = \frac{y^2+6y}{y^2-1} \cdot \frac{1+y}{6+y} $.
Разложим числители и знаменатели на множители. Используем формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $ и вынесение общего множителя за скобки:
$ y^2+6y = y(y+6) $
$ y^2-1 = (y-1)(y+1) $
Подставим разложенные многочлены в выражение:
$ \frac{y(y+6)}{(y-1)(y+1)} \cdot \frac{1+y}{y+6} $.
Сократим общие множители $ (y+6) $ и $ (y+1) $:
$ \frac{y\cancel{(y+6)}}{(y-1)\cancel{(y+1)}} \cdot \frac{\cancel{y+1}}{\cancel{y+6}} = \frac{y}{y-1} $.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \frac{1-y}{1+y} + \frac{y}{y-1} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $ 1-y = -(y-1) $. Это позволяет упростить дальнейшие вычисления.
$ \frac{-(y-1)}{y+1} + \frac{y}{y-1} = \frac{y}{y-1} - \frac{y-1}{y+1} $.
Общий знаменатель равен $ (y-1)(y+1) = y^2-1 $.
$ \frac{y(y+1)}{(y-1)(y+1)} - \frac{(y-1)(y-1)}{(y-1)(y+1)} = \frac{y(y+1) - (y-1)^2}{y^2-1} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{(y^2+y) - (y^2-2y+1)}{y^2-1} = \frac{y^2+y-y^2+2y-1}{y^2-1} $.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{3y-1}{y^2-1} $.

Ответ: $ \frac{3y-1}{y^2-1} $.

б)
Исходное выражение: $ \frac{4x^2-49}{2x+5} \cdot \frac{1}{4x^2+14x} - \frac{2x+7}{4x^2-10x} $.
Сначала выполним умножение. Для этого разложим числители и знаменатели на множители.
$ 4x^2 - 49 = (2x)^2 - 7^2 = (2x-7)(2x+7) $ (формула разности квадратов).
$ 4x^2 + 14x = 2x(2x+7) $ (вынесение общего множителя).
Подставим разложенные выражения в первую часть:
$ \frac{(2x-7)(2x+7)}{2x+5} \cdot \frac{1}{2x(2x+7)} $.
Сократим общий множитель $ (2x+7) $:
$ \frac{(2x-7)\cancel{(2x+7)}}{2x+5} \cdot \frac{1}{2x\cancel{(2x+7)}} = \frac{2x-7}{2x(2x+5)} $.
Теперь выражение принимает вид:
$ \frac{2x-7}{2x(2x+5)} - \frac{2x+7}{4x^2-10x} $.
Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ 4x^2 - 10x = 2x(2x-5) $.
Получаем:
$ \frac{2x-7}{2x(2x+5)} - \frac{2x+7}{2x(2x-5)} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ 2x(2x+5)(2x-5) $:
$ \frac{(2x-7)(2x-5)}{2x(2x+5)(2x-5)} - \frac{(2x+7)(2x+5)}{2x(2x-5)(2x+5)} $.
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{(2x-7)(2x-5) - (2x+7)(2x+5)}{2x(2x+5)(2x-5)} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ (2x-7)(2x-5) = 4x^2 - 10x - 14x + 35 = 4x^2 - 24x + 35 $.
$ (2x+7)(2x+5) = 4x^2 + 10x + 14x + 35 = 4x^2 + 24x + 35 $.
Подставим и упростим числитель:
$ \frac{(4x^2 - 24x + 35) - (4x^2 + 24x + 35)}{2x(4x^2-25)} = \frac{4x^2 - 24x + 35 - 4x^2 - 24x - 35}{2x(4x^2-25)} $.
$ = \frac{-48x}{2x(4x^2-25)} $.
Сократим дробь на $ 2x $:
$ \frac{-24}{4x^2-25} $.
Чтобы избавиться от минуса в числителе, умножим числитель и знаменатель на -1:
$ \frac{-24 \cdot (-1)}{(4x^2-25) \cdot (-1)} = \frac{24}{25-4x^2} $.

Ответ: $ \frac{24}{25-4x^2} $.