Страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

153. Функция задана формулой $f(x) = x^3$. Вычислите разности $f(1) - f(0)$, $f(2) - f(1)$, $f(3) - f(2)$. Сравните полученные результаты.

Дана функция $f(x) = x^3$. Чтобы вычислить указанные разности, сначала найдем значения функции в точках 0, 1, 2 и 3.

• $f(0) = 0^3 = 0$
• $f(1) = 1^3 = 1$
• $f(2) = 2^3 = 8$
• $f(3) = 3^3 = 27$

Теперь выполним вычисления для каждой разности.

$f(1) - f(0)$

Подставляем ранее найденные значения:
$f(1) - f(0) = 1 - 0 = 1$.
Ответ: 1

$f(2) - f(1)$

Подставляем ранее найденные значения:
$f(2) - f(1) = 8 - 1 = 7$.
Ответ: 7

$f(3) - f(2)$

Подставляем ранее найденные значения:
$f(3) - f(2) = 27 - 8 = 19$.
Ответ: 19

Сравнение полученных результатов

Мы получили три результата: 1, 7 и 19.
Сравнивая эти числа, мы видим, что они не равны, и каждое последующее значение больше предыдущего: $1 < 7 < 19$.
Это можно записать в виде строгого неравенства:
$f(1) - f(0) < f(2) - f(1) < f(3) - f(2)$.
Это говорит о том, что приращение функции $f(x) = x^3$ (ее рост) на последовательных единичных отрезках увеличивается.
Ответ: Полученные результаты 1, 7 и 19 не равны между собой. Они образуют строго возрастающую последовательность.

154. Выразите формулой зависимость массы $m$ (г) деревянного куба от длины $x$ (см) его ребра, если известно, что куб, ребро которого 10 см, имеет массу 700 г. Постройте график этой зависимости. Пользуясь графиком, найдите:

а) массу куба, ребро которого равно 2 см; 5 см;

б) ребро куба, масса которого равна 30 г; 100 г.

Сначала выведем формулу зависимости массы $m$ от длины ребра $x$. Масса любого однородного тела равна произведению его объема $V$ на плотность материала $\rho$:

$m = \rho \cdot V$

Объем куба с ребром $x$ вычисляется по формуле:

$V = x^3$

Подставив выражение для объема в формулу массы, получим зависимость массы куба от длины его ребра:

$m(x) = \rho \cdot x^3$

Нам известно, что куб из этого же дерева с ребром $x = 10$ см имеет массу $m = 700$ г. Используем эти данные для нахождения плотности дерева $\rho$:

$700 = \rho \cdot (10)^3$

$700 = \rho \cdot 1000$

$\rho = \frac{700}{1000} = 0.7$ г/см³

Таким образом, искомая формула зависимости массы куба от длины его ребра:

$m(x) = 0.7x^3$

Теперь построим график этой зависимости. Это функция вида $y=kx^3$, графиком которой является кубическая парабола. Так как длина ребра $x$ не может быть отрицательной, мы рассматриваем график только при $x \ge 0$.

Составим таблицу значений для построения графика:

На координатной плоскости отложим по оси абсцисс длину ребра $x$ (в см), а по оси ординат — массу $m$ (в г). Отметив вычисленные точки и соединив их плавной кривой, получим график функции. График начинается в точке (0, 0) и плавно возрастает.

Теперь, пользуясь графиком, ответим на вопросы.

а) Чтобы найти массу куба, ребро которого равно 2 см, нужно на оси $x$ найти значение 2, подняться от него вертикально до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения двигаться горизонтально до оси $m$. По графику видно, что при $x = 2$ см масса $m \approx 5.6$ г.

Аналогично для ребра, равного 5 см: находим на оси $x$ значение 5 и определяем по графику соответствующую массу. При $x = 5$ см масса $m \approx 87.5$ г.

Проверка по формуле:

$m(2) = 0.7 \cdot 2^3 = 0.7 \cdot 8 = 5.6$ г.

$m(5) = 0.7 \cdot 5^3 = 0.7 \cdot 125 = 87.5$ г.

Ответ: при ребре 2 см масса куба равна 5.6 г; при ребре 5 см — 87.5 г.

б) Чтобы найти ребро куба, масса которого равна 30 г, нужно на оси $m$ найти значение 30, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения опуститься вертикально на ось $x$. По графику видно, что при $m = 30$ г длина ребра $x \approx 3.5$ см.

Аналогично для массы 100 г: находим на оси $m$ значение 100 и определяем по графику соответствующую длину ребра. При $m = 100$ г длина ребра $x \approx 5.2$ см.

Проверка по формуле:

$30 = 0.7 \cdot x^3 \Rightarrow x^3 = \frac{30}{0.7} \approx 42.86 \Rightarrow x = \sqrt[3]{42.86} \approx 3.5$ см.

$100 = 0.7 \cdot x^3 \Rightarrow x^3 = \frac{100}{0.7} \approx 142.86 \Rightarrow x = \sqrt[3]{142.86} \approx 5.23$ см.

Ответ: при массе 30 г ребро куба равно примерно 3.5 см; при массе 100 г — примерно 5.2 см.

155. Используя график функции $y = x^3$, решите уравнение:

а) $x^3 = x + 1;$

б) $x^3 = 2x;$

в) $x^3 = 2x + 1.$

Для решения данных уравнений графическим методом необходимо построить в одной системе координат график функции $y = x^3$ и график функции, соответствующей правой части каждого уравнения. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться решениями (корнями) уравнения.

а) $x^3 = x + 1$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^3$ (кубическая парабола) и $y_2 = x + 1$ (прямая). График $y_1 = x^3$ — это стандартная кубическая парабола, проходящая через точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8). График $y_2 = x + 1$ — это прямая, которую можно построить по двум точкам, например, (0, 1) и (-1, 0). На чертеже видно, что графики пересекаются только в одной точке. Абсцисса (координата $x$) этой точки и является решением уравнения. Точка пересечения расположена правее $x=1$. По графику можно оценить её значение как $x \approx 1,3$.

Ответ: $x \approx 1,3$.

б) $x^3 = 2x$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = 2x$. График $y_1 = x^3$ — кубическая парабола. График $y_2 = 2x$ — это прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и, например, точку (1, 2). Построив оба графика, мы увидим три точки пересечения. Одна точка находится в начале координат, её абсцисса $x_1 = 0$. Две другие точки симметричны относительно начала координат. По графику можно определить их приблизительные абсциссы: $x_2 \approx 1,4$ и $x_3 \approx -1,4$. В данном случае можно найти и точные значения, решив уравнение аналитически: $x^3 - 2x = 0$ $x(x^2 - 2) = 0$ Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{2}$, $x_3 = -\sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{2}$, $x_3 = -\sqrt{2}$.

в) $x^3 = 2x + 1$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = 2x + 1$. График $y_1 = x^3$ — кубическая парабола. График $y_2 = 2x + 1$ — это прямая, которую можно построить по точкам (0, 1) и (-0.5, 0). Из графика видно, что функции пересекаются в трех точках, абсциссы которых являются корнями уравнения. Одну из точек пересечения можно определить точно, подставив целые числа. При $x = -1$ получаем: $(-1)^3 = -1$ и $2(-1) + 1 = -1$. Равенство верное, значит $x_1 = -1$ — один из корней. Две другие точки пересечения имеют абсциссы, которые можно оценить по графику: $x_2 \approx -0,6$ и $x_3 \approx 1,6$.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 \approx -0,6$, $x_3 \approx 1,6$.

156. Упростите выражение:

a) $\frac{1-y}{1+y} + \frac{y^2+6y}{y^2-1} : \frac{6+y}{1+y}$

б) $\frac{4x^2-49}{2x+5} \cdot \frac{1}{4x^2+14x} - \frac{2x+7}{4x^2-10x}$

а)
Исходное выражение: $ \frac{1-y}{1+y} + \frac{y^2+6y}{y^2-1} : \frac{6+y}{1+y} $.
Согласно порядку действий, сначала выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$ \frac{y^2+6y}{y^2-1} : \frac{6+y}{1+y} = \frac{y^2+6y}{y^2-1} \cdot \frac{1+y}{6+y} $.
Разложим числители и знаменатели на множители. Используем формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $ и вынесение общего множителя за скобки:
$ y^2+6y = y(y+6) $
$ y^2-1 = (y-1)(y+1) $
Подставим разложенные многочлены в выражение:
$ \frac{y(y+6)}{(y-1)(y+1)} \cdot \frac{1+y}{y+6} $.
Сократим общие множители $ (y+6) $ и $ (y+1) $:
$ \frac{y\cancel{(y+6)}}{(y-1)\cancel{(y+1)}} \cdot \frac{\cancel{y+1}}{\cancel{y+6}} = \frac{y}{y-1} $.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \frac{1-y}{1+y} + \frac{y}{y-1} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $ 1-y = -(y-1) $. Это позволяет упростить дальнейшие вычисления.
$ \frac{-(y-1)}{y+1} + \frac{y}{y-1} = \frac{y}{y-1} - \frac{y-1}{y+1} $.
Общий знаменатель равен $ (y-1)(y+1) = y^2-1 $.
$ \frac{y(y+1)}{(y-1)(y+1)} - \frac{(y-1)(y-1)}{(y-1)(y+1)} = \frac{y(y+1) - (y-1)^2}{y^2-1} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{(y^2+y) - (y^2-2y+1)}{y^2-1} = \frac{y^2+y-y^2+2y-1}{y^2-1} $.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{3y-1}{y^2-1} $.

Ответ: $ \frac{3y-1}{y^2-1} $.

б)
Исходное выражение: $ \frac{4x^2-49}{2x+5} \cdot \frac{1}{4x^2+14x} - \frac{2x+7}{4x^2-10x} $.
Сначала выполним умножение. Для этого разложим числители и знаменатели на множители.
$ 4x^2 - 49 = (2x)^2 - 7^2 = (2x-7)(2x+7) $ (формула разности квадратов).
$ 4x^2 + 14x = 2x(2x+7) $ (вынесение общего множителя).
Подставим разложенные выражения в первую часть:
$ \frac{(2x-7)(2x+7)}{2x+5} \cdot \frac{1}{2x(2x+7)} $.
Сократим общий множитель $ (2x+7) $:
$ \frac{(2x-7)\cancel{(2x+7)}}{2x+5} \cdot \frac{1}{2x\cancel{(2x+7)}} = \frac{2x-7}{2x(2x+5)} $.
Теперь выражение принимает вид:
$ \frac{2x-7}{2x(2x+5)} - \frac{2x+7}{4x^2-10x} $.
Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ 4x^2 - 10x = 2x(2x-5) $.
Получаем:
$ \frac{2x-7}{2x(2x+5)} - \frac{2x+7}{2x(2x-5)} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ 2x(2x+5)(2x-5) $:
$ \frac{(2x-7)(2x-5)}{2x(2x+5)(2x-5)} - \frac{(2x+7)(2x+5)}{2x(2x-5)(2x+5)} $.
Выполним вычитание дробей:
$ \frac{(2x-7)(2x-5) - (2x+7)(2x+5)}{2x(2x+5)(2x-5)} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ (2x-7)(2x-5) = 4x^2 - 10x - 14x + 35 = 4x^2 - 24x + 35 $.
$ (2x+7)(2x+5) = 4x^2 + 10x + 14x + 35 = 4x^2 + 24x + 35 $.
Подставим и упростим числитель:
$ \frac{(4x^2 - 24x + 35) - (4x^2 + 24x + 35)}{2x(4x^2-25)} = \frac{4x^2 - 24x + 35 - 4x^2 - 24x - 35}{2x(4x^2-25)} $.
$ = \frac{-48x}{2x(4x^2-25)} $.
Сократим дробь на $ 2x $:
$ \frac{-24}{4x^2-25} $.
Чтобы избавиться от минуса в числителе, умножим числитель и знаменатель на -1:
$ \frac{-24 \cdot (-1)}{(4x^2-25) \cdot (-1)} = \frac{24}{25-4x^2} $.

Ответ: $ \frac{24}{25-4x^2} $.

157. Принадлежит ли графику функции $y = \sqrt{x}$ точка

A(144; 12)?

B(169; -13)?

C(-100; 10)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты точки (x; y) в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику.

Заданная функция: $y = \sqrt{x}$.
Важно помнить, что область определения этой функции — $x \ge 0$, а область значений — $y \ge 0$.

A(144; 12)

Проверим точку A с координатами $x = 144$ и $y = 12$. Подставим значение $x$ в уравнение функции: $y = \sqrt{144}$. Вычислим значение корня: $\sqrt{144} = 12$. Получили $y = 12$, что соответствует ординате точки A. Равенство $12 = 12$ верно. Следовательно, точка A принадлежит графику функции.
Ответ: Да, принадлежит.

B(169; -13)

Проверим точку B с координатами $x = 169$ и $y = -13$. Подставим значение $x$ в уравнение функции: $y = \sqrt{169}$. Вычислим значение корня: $\sqrt{169} = 13$. Получили $y = 13$, что не соответствует ординате точки B, равной -13. Равенство $13 = -13$ неверно. Кроме того, область значений функции $y = \sqrt{x}$ — это $y \ge 0$, а у точки B ордината отрицательна. Следовательно, точка B не принадлежит графику функции.
Ответ: Нет, не принадлежит.

C(-100; 10)

Проверим точку C с координатами $x = -100$ и $y = 10$. Область определения функции $y = \sqrt{x}$ требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Абсцисса точки C равна -100, что является отрицательным числом ($-100 < 0$). Поскольку значение $x = -100$ не входит в область определения функции, точка C не может принадлежать ее графику (в области действительных чисел).
Ответ: Нет, не принадлежит.