Страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

132. Сократите дробь $ \frac{(1-3a)^2}{3a^2 + 5a - 2} $.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители. Если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно сократить.

Исходная дробь:

$$ \frac{(1 - 3a)^2}{3a^2 + 5a - 2} $$

1. Работа с числителем

Числитель $(1 - 3a)^2$ уже представлен в виде множителей, так как это квадрат выражения $(1 - 3a)$. Для удобства дальнейшего сокращения воспользуемся свойством $(x-y)^2 = (y-x)^2$ и перепишем числитель в виде:

$$ (1 - 3a)^2 = (3a - 1)^2 = (3a - 1)(3a - 1) $$

2. Разложение знаменателя на множители

Знаменатель $3a^2 + 5a - 2$ — это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем корни квадратного уравнения $3a^2 + 5a - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$$ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 $$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$$ a_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 $$

$$ a_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители, используя формулу $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$$ 3a^2 + 5a - 2 = 3(a - (-2))(a - \frac{1}{3}) = 3(a + 2)(a - \frac{1}{3}) $$

Чтобы избавиться от дроби в скобках, умножим множитель 3 на двучлен $(a - \frac{1}{3})$:

$$ 3(a + 2)(a - \frac{1}{3}) = (a + 2)(3 \cdot a - 3 \cdot \frac{1}{3}) = (a + 2)(3a - 1) $$

3. Сокращение дроби

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$$ \frac{(3a - 1)^2}{(a + 2)(3a - 1)} $$

Сократим общий множитель $(3a - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $3a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq \frac{1}{3}$):

$$ \frac{(3a - 1)\require{cancel}\cancel{(3a - 1)}}{(a + 2)\cancel{(3a - 1)}} = \frac{3a - 1}{a + 2} $$

Ответ: $ \frac{3a - 1}{a + 2} $

133. Решите уравнение:

a) $(x - 1)^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2 - 2x + 2;$

б) $(2x - 3)(2x + 3) - 1 = 5x + (x - 2)^2.$

а)

Решим уравнение $(x - 1)^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2 - 2x + 2$.

Сначала раскроем все скобки, используя формулы сокращенного умножения: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$

Теперь сложим полученные выражения: $(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$

Теперь подставим это в правую часть: $(x^2 + 4x + 4) - 2x + 2 = x^2 + 2x + 6$.

Приравняем упрощенные левую и правую части:

$2x^2 + 2 = x^2 + 2x + 6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - x^2 - 2x + 2 - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = -4$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

$x = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{5}$.

Ответ: $1 \pm \sqrt{5}$.

б)

Решим уравнение $(2x - 3)(2x + 3) - 1 = 5x + (x - 2)^2$.

Используем формулы сокращенного умножения для раскрытия скобок: разность квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ и квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В левой части применяем формулу разности квадратов:

$(2x - 3)(2x + 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$.

Тогда левая часть уравнения принимает вид: $(4x^2 - 9) - 1 = 4x^2 - 10$.

В правой части раскрываем квадрат разности:

$(x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$.

Тогда правая часть уравнения принимает вид: $5x + (x^2 - 4x + 4) = x^2 + x + 4$.

Приравняем упрощенные части уравнения:

$4x^2 - 10 = x^2 + x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - x^2 - x - 10 - 4 = 0$

$3x^2 - x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -1$, $c = -14$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169$.

Так как $D = 169 = 13^2 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 13}{6}$.

Вычислим каждый корень:

$x_1 = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.

$x_2 = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Ответ: $-2; \frac{7}{3}$.

134. Если с каждого гектара участка соберут 35 ц пшеницы, то план недовыполнят на 20 т; если с каждого гектара будет получено 42 ц, то план перевыполнят на 50 т. Какова площадь участка?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ — искомая площадь участка в гектарах (га), а $P$ — плановый сбор пшеницы в центнерах (ц).

Прежде всего, необходимо привести все единицы измерения к единой системе. Переведем тонны (т) в центнеры (ц), учитывая, что $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$.
Недовыполнение плана на 20 т составляет $20 \times 10 = 200$ ц.
Перевыполнение плана на 50 т составляет $50 \times 10 = 500$ ц.

Теперь составим систему уравнений на основе условий задачи.

1. Если с каждого гектара собирают по 35 ц, то общий сбор составит $35S$ центнеров. По условию, это на 200 ц меньше плана. Математически это можно записать так:
$P - 35S = 200$
Из этого уравнения можно выразить план $P$:
$P = 35S + 200$

2. Если с каждого гектара собирают по 42 ц, то общий сбор составит $42S$ центнеров. По условию, это на 500 ц больше плана. Запишем это в виде уравнения:
$42S - P = 500$
Выразим план $P$ из этого уравнения:
$P = 42S - 500$

Мы получили два выражения для планового сбора $P$. Так как они оба равны $P$, мы можем их приравнять друг к другу, чтобы найти площадь $S$:
$35S + 200 = 42S - 500$

Решим полученное линейное уравнение относительно $S$. Перенесем все члены с переменной $S$ в правую часть, а числовые значения — в левую:
$200 + 500 = 42S - 35S$
$700 = 7S$

Чтобы найти $S$, разделим обе части уравнения на 7:
$S = \frac{700}{7}$
$S = 100$

Таким образом, площадь участка составляет 100 гектаров.

Ответ: 100 га.

135. Если на каждую машину грузить $3,5 \text{ т}$ груза, то останется $4 \text{ т}$;
если на каждую машину грузить $4,5 \text{ т}$, то для полной загрузки всех машин не хватит $4 \text{ т}$ груза. Сколько было машин?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это искомое количество машин.

Рассмотрим первое условие: «Если на каждую машину грузить 3,5 т груза, то останется 4 т». Это означает, что общая масса всего груза равна массе, загруженной на все машины ($3.5 \cdot x$), плюс остаток (4 т). Выразим общую массу груза формулой:
Масса груза = $3.5x + 4$

Теперь рассмотрим второе условие: «если на каждую машину грузить 4,5 т, то для полной загрузки всех машин не хватит 4 т груза». Это означает, что если бы мы хотели загрузить на все машины по 4,5 т, нам понадобилось бы $4.5 \cdot x$ тонн, но у нас на 4 тонны меньше. Выразим общую массу груза через это условие:
Масса груза = $4.5x - 4$

Поскольку общая масса груза в обоих случаях одна и та же, мы можем приравнять два полученных выражения:
$3.5x + 4 = 4.5x - 4$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$. Для этого перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону уравнения, а свободные члены — в другую:
$4 + 4 = 4.5x - 3.5x$
$8 = (4.5 - 3.5)x$
$8 = 1x$
$x = 8$

Таким образом, мы нашли, что было 8 машин.

Ответ: 8 машин.

1 Сформулируйте определение квадратичной функции.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые заданные числа, называемые коэффициентами.

Основным и обязательным условием, отличающим квадратичную функцию от других, является то, что старший коэффициент $a$ (множитель при $x^2$) не должен быть равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Рассмотрим подробнее элементы определения:

Переменные:
$x$ — это аргумент, или независимая переменная. Мы можем подставлять вместо нее различные числовые значения.
$y$ — это значение функции, или зависимая переменная. Ее значение вычисляется на основе выбранного значения $x$.

Коэффициенты:
$a$ — старший коэффициент. Он определяет форму графика функции (параболы): если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, если $a < 0$ — вниз.
$b$ — второй коэффициент. Он, вместе с коэффициентом $a$, влияет на расположение вершины параболы.
$c$ — свободный член. Это значение функции при $x=0$, то есть $y(0) = c$. Геометрически это точка, в которой график функции пересекает ось ординат (ось OY).

Обоснование условия $a \neq 0$:
Это условие является принципиально важным. Если предположить, что $a = 0$, то член $ax^2$ в формуле обнуляется, и уравнение принимает вид $y = bx + c$. Это уравнение задает линейную функцию, график которой — прямая линия, а не парабола. Таким образом, именно наличие слагаемого с переменной во второй степени ($x^2$) определяет функцию как квадратичную.

Ответ: Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, $a, b, c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$.

Сформулируйте свойства квадратичной функции $y = ax^2$:

а) при $a > 0$;

б) при $a < 0$.

Квадратичная функция вида $y = ax^2$ является частным случаем квадратичной функции. Ее график — парабола с вершиной в начале координат. Свойства этой функции зависят от знака коэффициента $a$.

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений функции — множество всех неотрицательных чисел: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$ только при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0; 0)$.
4. Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
5. График — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Наибольшего значения у функции нет.
8. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: При $a > 0$ график функции $y = ax^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Функция четная, определена для всех $x$, принимает только неотрицательные значения. Убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений функции — множество всех неположительных чисел: $E(y) = (-\infty; 0]$.
3. Нули функции: $y=0$ только при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0; 0)$.
4. Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
5. График — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 0$. Наименьшего значения у функции нет.
8. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: При $a < 0$ график функции $y = ax^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз. Функция четная, определена для всех $x$, принимает только неположительные значения. Возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.

3 Как из графика функции $y = ax^2$ можно получить график функ-ции:

а) $y = ax^2 + n$;

б) $y = a(x - m)^2$;

в) $y = a(x - m)^2 + n$?

Для преобразования графика функции $y = ax^2$ в графики других функций используются геометрические преобразования, в основном — параллельные переносы (сдвиги).

Чтобы получить график функции $y = ax^2 + n$ из графика функции $y = ax^2$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика вдоль оси ординат (оси $Oy$).

Рассмотрим любую точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = ax^2$. Для неё выполняется равенство $y_0 = ax_0^2$. Для нового графика $y = ax^2 + n$ при том же значении абсциссы $x_0$ ордината будет равна $y_{new} = ax_0^2 + n = y_0 + n$. Это означает, что каждая точка исходного графика смещается на $n$ единиц по вертикали.

• Если $n > 0$, то сдвиг происходит вверх на $n$ единиц.
• Если $n < 0$, то сдвиг происходит вниз на $|n|$ единиц.

Таким образом, график функции $y = ax^2 + n$ — это та же парабола $y=ax^2$, но смещенная вдоль оси $Oy$.

Ответ: График функции $y = ax^2 + n$ можно получить из графика функции $y = ax^2$ с помощью параллельного переноса вдоль оси $Oy$ на $n$ единиц вверх, если $n > 0$, или на $|n|$ единиц вниз, если $n < 0$.

Чтобы получить график функции $y = a(x - m)^2$ из графика функции $y = ax^2$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика вдоль оси абсцисс (оси $Ox$).

Рассмотрим точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = ax^2$, то есть $y_0 = ax_0^2$. На новом графике $y = a(x - m)^2$ то же значение ординаты $y_0$ будет достигаться при такой абсциссе $x_{new}$, что $a(x_{new} - m)^2 = y_0 = ax_0^2$. Отсюда следует, что $(x_{new} - m)^2 = x_0^2$, или $x_{new} - m = x_0$, что дает $x_{new} = x_0 + m$. Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика смещается в точку $(x_0 + m, y_0)$, то есть происходит сдвиг на $m$ единиц по горизонтали.

• Если $m > 0$, то сдвиг происходит вправо на $m$ единиц.
• Если $m < 0$, то сдвиг происходит влево на $|m|$ единиц.

Таким образом, график функции $y = a(x-m)^2$ — это та же парабола $y=ax^2$, но смещенная вдоль оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = a(x - m)^2$ можно получить из графика функции $y = ax^2$ с помощью параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на $m$ единиц вправо, если $m > 0$, или на $|m|$ единиц влево, если $m < 0$.

Чтобы получить график функции $y = a(x - m)^2 + n$ из графика функции $y = ax^2$, необходимо выполнить последовательно два параллельных переноса: один вдоль оси абсцисс ($Ox$) и другой вдоль оси ординат ($Oy$). Это является комбинацией преобразований, описанных в пунктах а) и б).

Преобразование можно выполнить в два шага:

1. Сначала сдвигаем график $y = ax^2$ вдоль оси $Ox$ на $m$ единиц (вправо при $m>0$, влево при $m<0$). В результате получаем график функции $y = a(x - m)^2$.
2. Затем сдвигаем полученный график $y = a(x - m)^2$ вдоль оси $Oy$ на $n$ единиц (вверх при $n>0$, вниз при $n<0$). В результате получаем искомый график функции $y = a(x - m)^2 + n$.

Комбинация этих двух сдвигов представляет собой один параллельный перенос на вектор $(m, n)$. Вершина параболы $y = ax^2$, которая находилась в начале координат, точке $(0, 0)$, перемещается в точку $(m, n)$.

Ответ: График функции $y = a(x - m)^2 + n$ можно получить из графика функции $y = ax^2$ с помощью параллельного переноса, при котором вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(m, n)$. Это эквивалентно сдвигу на $m$ единиц вдоль оси $Ox$ и на $n$ единиц вдоль оси $Oy$.

4 Что представляет собой график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$? На примере функции $y = 2x^2 - 12x + 16$ покажите, как строят график квадратичной функции.

Что представляет собой график квадратичной функции y = ax² + bx + c?

График квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$) представляет собой кривую, которая называется параболой. Основные свойства этой параболы определяются коэффициентами $a, b$ и $c$.

1. Направление ветвей параболы зависит от знака старшего коэффициента $a$.
- Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет точку минимума.
- Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет точку максимума.

2. Вершина параболы — это точка минимума или максимума функции. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + bx_0 + c$
Прямая $x = x_0$ является осью симметрии параболы.

3. Точка пересечения с осью ординат (Oy). График пересекает ось Oy при $x=0$. Координаты этой точки — $(0, c)$, так как $y(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$.

4. Точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Это точки, в которых $y=0$. Их находят, решая квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Количество точек пересечения (две, одна или ни одной) зависит от дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Ответ: График квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ — это парабола. Направление ее ветвей зависит от знака коэффициента $a$ (вверх при $a > 0$, вниз при $a < 0$), а точка $(0, c)$ является точкой пересечения с осью Oy. Ключевой точкой графика является вершина, относительно которой парабола симметрична.

На примере функции y = 2x² - 12x + 16 покажите, как строят график квадратичной функции.

Для построения графика функции $y = 2x^2 - 12x + 16$ выполним следующие шаги:

1. Определение направления ветвей.
Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Коэффициенты функции: $a = 2, b = -12, c = 16$.
Находим абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Находим ординату вершины, подставив $x_0 = 3$ в уравнение функции:
$y_0 = 2(3)^2 - 12(3) + 16 = 2 \cdot 9 - 36 + 16 = 18 - 36 + 16 = -2$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=3$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
С осью Oy: подставляем $x = 0$ в уравнение.
$y = 2(0)^2 - 12(0) + 16 = 16$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 16)$.
С осью Ox: подставляем $y = 0$ и решаем квадратное уравнение $2x^2 - 12x + 16 = 0$.
Для удобства разделим все члены уравнения на 2:
$x^2 - 6x + 8 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек.
Для более точного построения найдем еще несколько точек. Удобно использовать симметрию относительно оси $x = 3$.
У нас есть точка $(0, 16)$. Найдем симметричную ей точку. Расстояние от $x=0$ до оси симметрии $x=3$ равно 3. Откладываем такое же расстояние в другую сторону: $3 + 3 = 6$. Значит, симметричная точка имеет координаты $(6, 16)$.
Возьмем еще одну точку, например, при $x=1$:
$y = 2(1)^2 - 12(1) + 16 = 2 - 12 + 16 = 6$.
Получили точку $(1, 6)$. Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $3 + (3-1) = 5$. Координаты симметричной точки: $(5, 6)$.

5. Построение графика.
Отмечаем на координатной плоскости все найденные точки: вершину $(3, -2)$, точки пересечения с осями $(0, 16)$, $(2, 0)$, $(4, 0)$ и дополнительные точки $(1, 6)$, $(5, 6)$, $(6, 16)$. Соединяем эти точки плавной линией, получая параболу.

Ответ: Для построения графика функции $y = 2x^2 - 12x + 16$ необходимо последовательно найти: 1) направление ветвей (вверх, так как $a=2>0$); 2) координаты вершины параболы: $(3, -2)$; 3) точки пересечения с осями координат: $(0, 16)$, $(2, 0)$ и $(4, 0)$; 4) несколько дополнительных точек, используя симметрию, например, $(1, 6)$ и $(5, 6)$. После этого точки наносят на координатную плоскость и соединяют плавной кривой (параболой).