Страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

117.Решите уравнение:

а) $0,6a - (a + 0,3)^2 = 0,27;$

б) $\frac{y^2 - 2y}{4} = 0,5y(6 - 2y).$

а)

Дано уравнение: $0,6a - (a + 0,3)^2 = 0,27$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(a + 0,3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 0,3 + 0,3^2 = a^2 + 0,6a + 0,09$.

Подставим это выражение обратно в уравнение:
$0,6a - (a^2 + 0,6a + 0,09) = 0,27$.

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:
$0,6a - a^2 - 0,6a - 0,09 = 0,27$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $0,6a$ и $-0,6a$ взаимно уничтожаются:
$-a^2 - 0,09 = 0,27$.

Перенесем числовое слагаемое $-0,09$ из левой части в правую с противоположным знаком:
$-a^2 = 0,27 + 0,09$
$-a^2 = 0,36$.

Умножим обе части уравнения на $-1$:
$a^2 = -0,36$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

б)

Дано уравнение: $\frac{y^2 - 2y}{4} = 0,5y(6 - 2y)$.

Сначала упростим правую часть уравнения, раскрыв скобки:
$0,5y(6 - 2y) = 0,5y \cdot 6 - 0,5y \cdot 2y = 3y - y^2$.

Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{y^2 - 2y}{4} = 3y - y^2$.

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя в левой части:
$4 \cdot \frac{y^2 - 2y}{4} = 4 \cdot (3y - y^2)$
$y^2 - 2y = 12y - 4y^2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, изменив их знаки на противоположные, чтобы получить квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$:
$y^2 - 2y - 12y + 4y^2 = 0$.

Приведем подобные слагаемые:
$(y^2 + 4y^2) + (-2y - 12y) = 0$
$5y^2 - 14y = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(5y - 14) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:
1) $y_1 = 0$
2) $5y - 14 = 0 \Rightarrow 5y = 14 \Rightarrow y_2 = \frac{14}{5} = 2,8$.

Уравнение имеет два корня: 0 и 2,8.

Ответ: $0; 2,8$.

118. Решите неравенство:

а) $5x - 0.7 < 3x + 5.1;$

б) $0.8x + 4.5 \ge 5 - 1.2x;$

в) $2x + 4.2 \le 4x + 7.8;$

г) $3x - 2.6 > 5.5x - 3.1.$

а) $5x - 0,7 < 3x + 5,1$

Для решения линейного неравенства перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а свободные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$5x - 3x < 5,1 + 0,7$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$2x < 5,8$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x < \frac{5,8}{2}$

$x < 2,9$

Решением неравенства является числовой промежуток от минус бесконечности до 2,9, не включая 2,9.

Ответ: $(-\infty; 2,9)$.

б) $0,8x + 4,5 \ge 5 - 1,2x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые слагаемые — в правой.

$0,8x + 1,2x \ge 5 - 4,5$

Выполним сложение и вычитание в обеих частях:

$2x \ge 0,5$

Разделим обе части на 2. Знак неравенства "больше или равно" не меняется, так как мы делим на положительное число.

$x \ge \frac{0,5}{2}$

$x \ge 0,25$

Решением является числовой промежуток от 0,25 до плюс бесконечности, включая 0,25.

Ответ: $[0,25; +\infty)$.

в) $2x + 4,2 \le 4x + 7,8$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую, чтобы сохранить положительный коэффициент при переменной.

$4,2 - 7,8 \le 4x - 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$-3,6 \le 2x$

Разделим обе части неравенства на 2. Знак неравенства не меняется.

$\frac{-3,6}{2} \le x$

$-1,8 \le x$

Для удобства прочтения запишем неравенство в привычном виде, поменяв части местами и развернув знак неравенства:

$x \ge -1,8$

Решением является числовой промежуток от -1,8 до плюс бесконечности, включая -1,8.

Ответ: $[-1,8; +\infty)$.

г) $3x - 2,6 > 5,5x - 3,1$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую.

$-2,6 + 3,1 > 5,5x - 3x$

Выполним действия в обеих частях:

$0,5 > 2,5x$

Разделим обе части на 2,5. Знак неравенства "больше" не меняется.

$\frac{0,5}{2,5} > x$

Чтобы упростить дробь, можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$\frac{5}{25} > x$

$\frac{1}{5} > x$

$0,2 > x$

Запишем в стандартном виде:

$x < 0,2$

Решением является числовой промежуток от минус бесконечности до 0,2, не включая 0,2.

Ответ: $(-\infty; 0,2)$.

119. Найдите приращение функции $y = x^2$ при изменении $x$ от 2 до 5 и от 5 до 8. Сравните полученные результаты.

Приращение функции $\Delta y$ для функции $y = f(x)$ при изменении аргумента $x$ от $x_1$ до $x_2$ вычисляется по формуле:

$\Delta y = f(x_2) - f(x_1)$

В данной задаче функция $y = x^2$.

1. Найдем приращение функции при изменении x от 2 до 5.

Начальное значение аргумента $x_1 = 2$.
Конечное значение аргумента $x_2 = 5$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y_1 = f(x_1) = f(2) = 2^2 = 4$
$y_2 = f(x_2) = f(5) = 5^2 = 25$
Теперь найдем приращение функции $\Delta y_1$:
$\Delta y_1 = y_2 - y_1 = 25 - 4 = 21$

Ответ: 21.

2. Найдем приращение функции при изменении x от 5 до 8.

Начальное значение аргумента $x_1 = 5$.
Конечное значение аргумента $x_2 = 8$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y_1 = f(x_1) = f(5) = 5^2 = 25$
$y_2 = f(x_2) = f(8) = 8^2 = 64$
Теперь найдем приращение функции $\Delta y_2$:
$\Delta y_2 = y_2 - y_1 = 64 - 25 = 39$

Ответ: 39.

3. Сравним полученные результаты.

Приращение функции при изменении $x$ от 2 до 5 равно 21.
Приращение функции при изменении $x$ от 5 до 8 равно 39.
Сравнивая эти значения, получаем: $39 > 21$.

Ответ: Приращение функции на втором промежутке (39) больше, чем на первом (21).