Страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

124. Постройте график функции и опишите её свойства:

а) $y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 4$;

б) $y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1$;

в) $y = x^2 + 3x.$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Общий вид функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. Построение графика.

Коэффициенты: $a = \frac{1}{3}$, $b = -4$, $c = 4$.

Так как $a = \frac{1}{3} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 6$.

$y_0 = \frac{1}{3}(6)^2 - 4(6) + 4 = \frac{1}{3} \cdot 36 - 24 + 4 = 12 - 24 + 4 = -8$.

Вершина параболы находится в точке $(6, -8)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 6$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью $Oy$: $x=0$, $y = \frac{1}{3}(0)^2 - 4(0) + 4 = 4$. Точка пересечения $(0, 4)$.

С осью $Ox$: $y=0$, $\frac{1}{3}x^2 - 4x + 4 = 0$. Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби: $x^2 - 12x + 12 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 144 - 48 = 96$.

$\sqrt{D} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{6}$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(6 - 2\sqrt{6}, 0)$ и $(6 + 2\sqrt{6}, 0)$. (Приблизительно $(1.1, 0)$ и $(10.9, 0)$).

Найдем несколько дополнительных точек для построения. Воспользуемся симметрией относительно оси $x=6$.

Точка $(0, 4)$ симметрична точке $(12, 4)$.

При $x=3$: $y = \frac{1}{3}(3)^2 - 4(3) + 4 = 3 - 12 + 4 = -5$. Точка $(3, -5)$. Симметричная ей точка $(9, -5)$.

Построим параболу по точкам: $(6, -8)$ (вершина), $(0, 4)$, $(12, 4)$, $(3, -5)$, $(9, -5)$, $(6 - 2\sqrt{6}, 0)$, $(6 + 2\sqrt{6}, 0)$.

2. Свойства функции.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-8; +\infty)$, так как ветви направлены вверх, а $y_0 = -8$.

3. Нули функции: $x_1 = 6 - 2\sqrt{6}$, $x_2 = 6 + 2\sqrt{6}$.

4. Промежутки знакопостоянства:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; 6 - 2\sqrt{6}) \cup (6 + 2\sqrt{6}; +\infty)$.

$y < 0$ при $x \in (6 - 2\sqrt{6}; 6 + 2\sqrt{6})$.

5. Промежутки монотонности:

Функция убывает на промежутке $(-\infty; 6]$.

Функция возрастает на промежутке $[6; +\infty)$.

6. Экстремумы: точка минимума $(6, -8)$. $y_{min} = -8$ при $x = 6$.

Ответ: Свойства функции $y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 4$: 1) Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$; 2) Область значений $E(y): [-8; +\infty)$; 3) Нули: $x = 6 \pm 2\sqrt{6}$; 4) $y>0$ на $(-\infty; 6 - 2\sqrt{6}) \cup (6 + 2\sqrt{6}; +\infty)$, $y<0$ на $(6 - 2\sqrt{6}; 6 + 2\sqrt{6})$; 5) Убывает на $(-\infty; 6]$, возрастает на $[6; +\infty)$; 6) Точка минимума $(6, -8)$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Построение графика.

Коэффициенты: $a = -\frac{1}{4}$, $b = 1$, $c = -1$.

Так как $a = -\frac{1}{4} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$.

$y_0 = -\frac{1}{4}(2)^2 + 2 - 1 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 2 - 1 = -1 + 1 = 0$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью $Oy$: $x=0$, $y = -\frac{1}{4}(0)^2 + 0 - 1 = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.

С осью $Ox$: $y=0$, $-\frac{1}{4}x^2 + x - 1 = 0$. Умножим на -4: $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Это полный квадрат: $(x-2)^2 = 0$, откуда $x = 2$.

Парабола имеет одну точку пересечения с осью $Ox$, которая совпадает с вершиной $(2, 0)$.

Найдем дополнительные точки. Воспользуемся симметрией относительно оси $x=2$.

Точка $(0, -1)$ симметрична точке $(4, -1)$.

При $x=-2$: $y = -\frac{1}{4}(-2)^2 + (-2) - 1 = -1 - 2 - 1 = -4$. Точка $(-2, -4)$. Симметричная ей точка $(6, -4)$.

Построим параболу по точкам: $(2, 0)$ (вершина), $(0, -1)$, $(4, -1)$, $(-2, -4)$, $(6, -4)$.

2. Свойства функции.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$, так как ветви направлены вниз, а $y_0 = 0$.

3. Нули функции: $x = 2$.

4. Промежутки знакопостоянства:

$y < 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

$y > 0$ — нет таких значений $x$.

$y = 0$ при $x=2$.

5. Промежутки монотонности:

Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$.

Функция убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

6. Экстремумы: точка максимума $(2, 0)$. $y_{max} = 0$ при $x = 2$.

Ответ: Свойства функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1$: 1) Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$; 2) Область значений $E(y): (-\infty; 0]$; 3) Нуль: $x = 2$; 4) $y < 0$ на $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; 5) Возрастает на $(-\infty; 2]$, убывает на $[2; +\infty)$; 6) Точка максимума $(2, 0)$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Построение графика.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 3$, $c = 0$.

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.

$y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$.

Вершина параболы находится в точке $(-1.5, -2.25)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1.5$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью $Oy$: $x=0$, $y = 0^2 + 3 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$ (начало координат).

С осью $Ox$: $y=0$, $x^2 + 3x = 0$.

$x(x+3) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$ и $(-3, 0)$.

Найдем дополнительные точки. Воспользуемся симметрией относительно оси $x=-1.5$.

При $x=1$: $y = 1^2 + 3 \cdot 1 = 4$. Точка $(1, 4)$.

Симметричная ей точка относительно $x=-1.5$: $x' = -1.5 - (1 - (-1.5)) = -1.5 - 2.5 = -4$. Точка $(-4, 4)$.

Построим параболу по точкам: $(-1.5, -2.25)$ (вершина), $(0, 0)$, $(-3, 0)$, $(1, 4)$, $(-4, 4)$.

2. Свойства функции.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-2.25; +\infty)$, так как ветви направлены вверх, а $y_0 = -2.25$.

3. Нули функции: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$.

$y < 0$ при $x \in (-3; 0)$.

5. Промежутки монотонности:

Функция убывает на промежутке $(-\infty; -1.5]$.

Функция возрастает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.

6. Экстремумы: точка минимума $(-1.5, -2.25)$. $y_{min} = -2.25$ при $x = -1.5$.

Ответ: Свойства функции $y = x^2 + 3x$: 1) Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$; 2) Область значений $E(y): [-2.25; +\infty)$; 3) Нули: $x = -3$, $x=0$; 4) $y > 0$ на $(-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$, $y < 0$ на $(-3; 0)$; 5) Убывает на $(-\infty; -1.5]$, возрастает на $[-1.5; +\infty)$; 6) Точка минимума $(-1.5, -2.25)$.

125. Постройте график функции:

а) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$;

б) $y = x^2 - 4x$;

в) $y = -x^2 + 6x - 9$.

Функция $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{2}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Данная функция имеет вид $y = ax^2 + c$. График такой функции получается из графика $y = ax^2$ сдвигом вдоль оси OY на $c$ единиц. В нашем случае это график параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$, сдвинутый на 5 единиц вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 5)$.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ также можно найти по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем уравнении $b=0$, поэтому $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 0$. $y_0 = y(x_0) = -\frac{1}{2}(0)^2 + 5 = 5$. Вершина параболы: $(0, 5)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = x_0$, то есть $x = 0$ (ось OY).

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x = 0$, $y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 5 = 5$. Точка пересечения — $(0, 5)$.

С осью OX: $y = 0$, $-\frac{1}{2}x^2 + 5 = 0$. $-\frac{1}{2}x^2 = -5$ $x^2 = 10$ $x_1 = \sqrt{10} \approx 3.16$, $x_2 = -\sqrt{10} \approx -3.16$. Точки пересечения — $(-\sqrt{10}, 0)$ и $(\sqrt{10}, 0)$.

Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси $x=0$:

Для построения графика отмечаем вершину $(0, 5)$, точки пересечения с осями и точки из таблицы, после чего плавно соединяем их линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0, 5)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии — $x=0$. Парабола пересекает ось OX в точках $(\sqrt{10}, 0)$ и $(-\sqrt{10}, 0)$, а ось OY — в точке $(0, 5)$.

Функция $y = x^2 - 4x$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем уравнении $a=1, b=-4, c=0$. $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = y(x_0) = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Вершина параболы: $(2, -4)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = x_0$, то есть $x = 2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x = 0$, $y = 0^2 - 4(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

С осью OX: $y = 0$, $x^2 - 4x = 0$. $x(x - 4) = 0$. $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси $x=2$:

Для построения графика отмечаем вершину $(2, -4)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(4, 0)$, а также дополнительные точки, например, $(1, -3)$ и $(3, -3)$, после чего плавно соединяем их линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -4)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=2$. Парабола пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Функция $y = -x^2 + 6x - 9$ является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Для этого преобразуем выражение, выделив полный квадрат: $y = -(x^2 - 6x + 9) = -(x - 3)^2$. Это парабола $y = -x^2$, смещенная на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = x_0$, то есть $x = 3$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OX: $y = 0$, $-(x - 3)^2 = 0$. $x - 3 = 0$, $x = 3$. Точка пересечения одна — $(3, 0)$, что совпадает с вершиной. Это означает, что парабола касается оси OX в своей вершине.

С осью OY: $x = 0$, $y = -(0)^2 + 6(0) - 9 = -9$. Точка пересечения — $(0, -9)$.

Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси $x=3$:

Для построения графика отмечаем вершину $(3, 0)$, точку пересечения с осью OY $(0, -9)$ и симметричную ей точку $(6, -9)$, а также другие точки из таблицы. Плавно соединяем их линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(3, 0)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии — $x=3$. Парабола касается оси OX в точке $(3, 0)$ и пересекает ось OY в точке $(0, -9)$.

126. Постройте график функции:

а) $y = 0.5x^2 - 2;$

б) $y = x^2 - 4x + 4;$

в) $y = -x^2 + 2x.$

а) $y = 0,5x^2 - 2$

Графиком данной функции является парабола. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 0,5$, $b = 0$, $c = -2$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a = 0,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. $x_в = -\frac{0}{2 \cdot 0,5} = 0$. Ординату вершины найдем, подставив значение $x_в$ в уравнение функции: $y_в = 0,5 \cdot (0)^2 - 2 = -2$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0$ (ось Oy).

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат. С осью Oy (y-перехват): подставим $x=0$. $y = 0,5 \cdot 0^2 - 2 = -2$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, -2)$, что совпадает с вершиной. С осью Ox (нули функции): подставим $y=0$. $0,5x^2 - 2 = 0$, что равносильно $0,5x^2 = 2$, или $x^2 = 4$. Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = -2$. Точки пересечения с осью Ox — $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

4. Для более точного построения найдем несколько дополнительных точек. Составим таблицу значений.

5. Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(0, -2)$, точки пересечения с осями $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, а также дополнительные точки, например, $(-1, -1,5)$ и $(1, -1,5)$. Затем соединить эти точки плавной линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

б) $y = x^2 - 4x + 4$

Графиком данной функции является парабола. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы. Можно заметить, что выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности: $(x-2)^2$. Таким образом, функция имеет вид $y = (x-2)^2$. Это график стандартной параболы $y=x^2$, смещенный на 2 единицы вправо. Вершина такой параболы находится в точке $(2, 0)$. Ось симметрии — прямая $x=2$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат. С осью Ox: при $y=0$ имеем $(x-2)^2 = 0$, откуда $x=2$. Парабола имеет одну общую точку с осью Ox — $(2, 0)$, которая является ее вершиной. С осью Oy: при $x=0$ имеем $y = (0-2)^2 = 4$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, 4)$.

4. Для построения найдем несколько дополнительных точек. Используем симметрию относительно оси $x=2$.

5. Для построения графика нужно отметить вершину $(2, 0)$, точку пересечения с осью Oy $(0, 4)$ и симметричную ей точку $(4, 4)$, а также точки $(1, 1)$ и $(3, 1)$. Затем соединить их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх. Парабола касается оси Ox в своей вершине и пересекает ось Oy в точке $(0, 4)$.

в) $y = -x^2 + 2x$

Графиком данной функции является парабола. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -1$, $b = 2$, $c = 0$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$. $y_в = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$. Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат. С осью Ox: при $y=0$ имеем $-x^2 + 2x = 0$, или $-x(x - 2) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения с осью Ox — $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Пересечение с осью Oy происходит при $x=0$, что дает $y=0$. Точка $(0, 0)$.

4. У нас уже есть три ключевые точки: вершина $(1, 1)$ и нули $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Найдем еще пару симметричных точек для точности.

Расчеты: при $x=-1$, $y = -(-1)^2 + 2(-1) = -1 - 2 = -3$. По симметрии, при $x=3$ (симметрично $x=-1$ относительно $x=1$) будет такое же значение $y=-3$.

5. Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(1, 1)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$, а также дополнительные точки $(-1, -3)$ и $(3, -3)$. Затем соединить их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 1)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

127. Постройте график функции:

а) $y = (x - 2)(x + 4);$

б) $y = -x(x + 5).$

а) $y = (x - 2)(x + 4)$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Определение направления ветвей параболы.
Приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки: $y = (x - 2)(x + 4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8$.
Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение точек пересечения с осью абсцисс (Ox).
Для этого приравняем $y$ к нулю: $(x - 2)(x + 4) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x - 2 = 0$ или $x + 4 = 0$.
$x_1 = 2$, $x_2 = -4$.
Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(-4, 0)$.

3. Нахождение координат вершины параболы $(x_в, y_в)$.
Абсциссу вершины можно найти как среднее арифметическое корней: $x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Либо по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Для нахождения ординаты вершины подставим значение $x_в$ в уравнение функции: $y_в = (-1 - 2)(-1 + 4) = (-3)(3) = -9$.
Координаты вершины параболы: $(-1, -9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$.

4. Нахождение точки пересечения с осью ординат (Oy).
Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции: $y = (0 - 2)(0 + 4) = (-2)(4) = -8$.
Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, -8)$.

5. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости вершину $(-1, -9)$, точки пересечения с осями $(-4, 0)$, $(2, 0)$, $(0, -8)$ и, учитывая, что ветви направлены вверх, плавно соединим точки, чтобы получить параболу.

Ответ: График функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$. Ось симметрии — прямая $x = -1$. График пересекает ось Ox в точках $(-4, 0)$ и $(2, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -8)$.

б) $y = -x(x + 5)$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Определение направления ветвей параболы.
Приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$: $y = -x(x + 5) = -x^2 - 5x$.
Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение точек пересечения с осью абсцисс (Ox).
Приравняем $y$ к нулю: $-x(x + 5) = 0$.
$x_1 = 0$, $x_2 = -5$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(-5, 0)$.

3. Нахождение координат вершины параболы $(x_в, y_в)$.
Абсцисса вершины: $x_в = \frac{0 + (-5)}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$.
Либо по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{-5}{2 \cdot (-1)} = -2.5$.
Ордината вершины: $y_в = -(-2.5)(-2.5 + 5) = 2.5 \cdot 2.5 = 6.25$.
Координаты вершины параболы: $(-2.5, 6.25)$. Ось симметрии — прямая $x = -2.5$.

4. Нахождение точки пересечения с осью ординат (Oy).
Подставим $x = 0$ в уравнение: $y = -0(0 + 5) = 0$.
Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 0)$, которая также является точкой пересечения с осью Ox.

5. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости вершину $(-2.5, 6.25)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(-5, 0)$ и, учитывая, что ветви направлены вниз, плавно соединим точки, чтобы получить параболу.

Ответ: График функции — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(-2.5, 6.25)$. Ось симметрии — прямая $x = -2.5$. График пересекает ось Ox в точках $(-5, 0)$ и $(0, 0)$. Точка $(0, 0)$ также является точкой пересечения с осью Oy.

Рис. 35

128. Выясните, график какой из функций

$y = x^2 + 6x, y = \frac{1}{2}x^2 - 3x, y = -x^2 - 6$

изображён на рисунке 35.

Рис. 35

Для того чтобы определить, график какой из функций изображён на рисунке, проанализируем свойства параболы на графике и сравним их со свойствами каждой из предложенных функций.

Сначала определим ключевые характеристики параболы на рисунке 35:

• Ветви параболы направлены вверх. Это означает, что коэффициент $a$ в уравнении $y = ax^2 + bx + c$ должен быть положительным ($a > 0$).
• Вершина параболы находится в точке с координатами $(3; -4.5)$.
• График пересекает ось ординат (ось y) в точке $(0; 0)$.
• График пересекает ось абсцисс (ось x) в точках $(0; 0)$ и $(6; 0)$.

Теперь поочерёдно проверим каждую из предложенных функций.

$y = x^2 + 6x$

Для этой функции коэффициент $a = 1$, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх, что соответствует графику. Однако найдём абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Абсцисса вершины на графике равна $3$, а не $-3$. Следовательно, эта функция не подходит.

$y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$

Для этой функции коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви направлены вверх, что соответствует графику. Найдём координаты вершины:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{-3}{1} = 3$.

Ордината вершины: $y_0 = \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) = \frac{9}{2} - 9 = 4.5 - 9 = -4.5$.

Координаты вершины $(3; -4.5)$ полностью совпадают с вершиной параболы на графике. Проверим также точки пересечения с осями. При $x=0$, $y=0$. При $y=0$, имеем уравнение $\frac{1}{2}x^2 - 3x = 0$, или $x(\frac{1}{2}x - 3) = 0$, откуда $x=0$ или $x=6$. Все ключевые точки совпадают. Эта функция подходит.

$y = -x^2 - 6$

Для этой функции коэффициент $a = -1$, что меньше нуля. Это означает, что ветви параболы должны быть направлены вниз. На рисунке же ветви направлены вверх. Следовательно, эта функция не подходит.

Таким образом, единственная функция, график которой соответствует изображению, — это $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$.

Ответ: На рисунке изображён график функции $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$.

129. Найдите значение $b$, при котором прямая $y = 6x + b$ касается параболы $y = x^2 + 8$.

Для того чтобы прямая $y = 6x + b$ касалась параболы $y = x^2 + 8$, система уравнений, описывающая их пересечение, должна иметь ровно одно решение. Это означает, что графики имеют только одну общую точку (точку касания).

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения:

$x^2 + 8 = 6x + b$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$x^2 - 6x + 8 - b = 0$

Квадратное уравнение имеет ровно один корень в том случае, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=-6$, $C=8-b$.

Вычислим дискриминант и приравняем его к нулю, чтобы найти искомое значение $b$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - b) = 0$

$36 - 4(8 - b) = 0$

$36 - 32 + 4b = 0$

$4 + 4b = 0$

$4b = -4$

$b = \frac{-4}{4}$

$b = -1$

Таким образом, при значении $b = -1$ прямая и парабола имеют одну общую точку, то есть касаются.

Ответ: $b = -1$.

130. При каком значении $n$ графики функций $y = 2x^2 - 5x + 6$ и $y = x^2 - 7x + n$ имеют только одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

Чтобы найти общие точки графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части. Общие точки — это точки, в которых координаты $(x, y)$ совпадают для обеих функций.

Даны функции: $y = 2x^2 - 5x + 6$ и $y = x^2 - 7x + n$.

Приравниваем выражения для $y$: $2x^2 - 5x + 6 = x^2 - 7x + n$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $(2x^2 - x^2) + (-5x + 7x) + (6 - n) = 0$ $x^2 + 2x + (6 - n) = 0$

Графики функций имеют только одну общую точку, если полученное квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант $D$ этого уравнения равен нулю.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения $x^2 + 2x + (6 - n) = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 2$, $c = 6 - n$.

Вычисляем дискриминант и приравниваем его к нулю: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 - n) = 0$ $4 - 4(6 - n) = 0$ $4 - 24 + 4n = 0$ $-20 + 4n = 0$ $4n = 20$ $n = 5$

Ответ: $n=5$.

Теперь, когда мы нашли, что $n=5$, мы можем найти корень квадратного уравнения $x^2 + 2x + (6 - 5) = 0$, то есть $x^2 + 2x + 1 = 0$. Этот корень будет абсциссой (координатой $x$) общей точки.

При $D=0$ корень находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$. Подставляем значения $a=1$ и $b=2$: $x = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1$

Чтобы найти ординату (координату $y$) общей точки, подставим найденное значение $x = -1$ в уравнение любой из двух исходных функций. Возьмем первую функцию $y = 2x^2 - 5x + 6$: $y = 2(-1)^2 - 5(-1) + 6$ $y = 2(1) + 5 + 6$ $y = 13$

Для проверки можно подставить $x = -1$ и $n = 5$ во вторую функцию $y = x^2 - 7x + n$: $y = (-1)^2 - 7(-1) + 5 = 1 + 7 + 5 = 13$

Координаты общей точки найдены верно.

Ответ: $(-1, 13)$.

131. (Задача-исследование.) По графику функции $y = ax^2 + bx + c$ (рис. 36) определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

1) Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов $a$ и $c$. Укажите эти знаки.

2) Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента $b$. Укажите этот знак.

а)

б)

Рис. 36

График а)

1) Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов a и c. Укажите эти знаки.

Знак старшего коэффициента a в уравнении квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ определяет направление ветвей параболы. На рисунке а) ветви параболы направлены вниз, из чего следует, что коэффициент a отрицательный: $a < 0$.
Свободный член c соответствует значению функции при $x=0$, то есть это ордината точки пересечения графика с осью Oy. На рисунке а) парабола пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой (ниже начала координат), следовательно, коэффициент c также отрицательный: $c < 0$.

2) Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента b. Укажите этот знак.

Знак коэффициента b можно определить, используя абсциссу вершины параболы $x_v$, которая вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. На рисунке а) вершина параболы расположена в правой полуплоскости (справа от оси Oy), это означает, что её абсцисса $x_v$ положительна: $x_v > 0$. Мы уже знаем, что $a < 0$. Подставим известные знаки в формулу для абсциссы вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} > 0$ Поскольку $a < 0$, знаменатель $2a$ является отрицательным числом. Для того чтобы вся дробь $-\frac{b}{2a}$ была положительной, числитель $-b$ должен быть отрицательным (так как частное двух отрицательных чисел положительно). Из неравенства $-b < 0$ следует, что $b > 0$.

Ответ: для графика а) знаки коэффициентов следующие: $a < 0$, $b > 0$, $c < 0$.

График б)

1) Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов a и c. Укажите эти знаки.

Знак коэффициента a определяется по направлению ветвей параболы. На рисунке б) ветви параболы направлены вверх, следовательно, коэффициент a положительный: $a > 0$.
Коэффициент c — это ордината точки пересечения параболы с осью Oy. На рисунке б) парабола пересекает ось Oy в точке с положительной ординатой (выше начала координат), следовательно, коэффициент c также положительный: $c > 0$.

2) Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента b. Укажите этот знак.

Знак коэффициента b, как и в предыдущем случае, определим по абсциссе вершины параболы $x_v = -\frac{b}{2a}$. На рисунке б) вершина параболы также находится в правой полуплоскости, значит, её абсцисса $x_v$ положительна: $x_v > 0$. Мы уже определили, что $a > 0$. Подставим знаки в формулу: $x_v = -\frac{b}{2a} > 0$ Поскольку $a > 0$, знаменатель $2a$ является положительным числом. Для того чтобы вся дробь $-\frac{b}{2a}$ была положительной, её числитель $-b$ также должен быть положительным. Из неравенства $-b > 0$ следует, что $b < 0$.

Ответ: для графика б) знаки коэффициентов следующие: $a > 0$, $b < 0$, $c > 0$.