Номер 124, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

124. Постройте график функции и опишите её свойства:

а) $y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 4$;

б) $y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1$;

в) $y = x^2 + 3x.$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Общий вид функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. Построение графика.

Коэффициенты: $a = \frac{1}{3}$, $b = -4$, $c = 4$.

Так как $a = \frac{1}{3} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 6$.

$y_0 = \frac{1}{3}(6)^2 - 4(6) + 4 = \frac{1}{3} \cdot 36 - 24 + 4 = 12 - 24 + 4 = -8$.

Вершина параболы находится в точке $(6, -8)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 6$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью $Oy$: $x=0$, $y = \frac{1}{3}(0)^2 - 4(0) + 4 = 4$. Точка пересечения $(0, 4)$.

С осью $Ox$: $y=0$, $\frac{1}{3}x^2 - 4x + 4 = 0$. Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби: $x^2 - 12x + 12 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 144 - 48 = 96$.

$\sqrt{D} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{6}$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(6 - 2\sqrt{6}, 0)$ и $(6 + 2\sqrt{6}, 0)$. (Приблизительно $(1.1, 0)$ и $(10.9, 0)$).

Найдем несколько дополнительных точек для построения. Воспользуемся симметрией относительно оси $x=6$.

Точка $(0, 4)$ симметрична точке $(12, 4)$.

При $x=3$: $y = \frac{1}{3}(3)^2 - 4(3) + 4 = 3 - 12 + 4 = -5$. Точка $(3, -5)$. Симметричная ей точка $(9, -5)$.

Построим параболу по точкам: $(6, -8)$ (вершина), $(0, 4)$, $(12, 4)$, $(3, -5)$, $(9, -5)$, $(6 - 2\sqrt{6}, 0)$, $(6 + 2\sqrt{6}, 0)$.

2. Свойства функции.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-8; +\infty)$, так как ветви направлены вверх, а $y_0 = -8$.

3. Нули функции: $x_1 = 6 - 2\sqrt{6}$, $x_2 = 6 + 2\sqrt{6}$.

4. Промежутки знакопостоянства:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; 6 - 2\sqrt{6}) \cup (6 + 2\sqrt{6}; +\infty)$.

$y < 0$ при $x \in (6 - 2\sqrt{6}; 6 + 2\sqrt{6})$.

5. Промежутки монотонности:

Функция убывает на промежутке $(-\infty; 6]$.

Функция возрастает на промежутке $[6; +\infty)$.

6. Экстремумы: точка минимума $(6, -8)$. $y_{min} = -8$ при $x = 6$.

Ответ: Свойства функции $y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 4$: 1) Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$; 2) Область значений $E(y): [-8; +\infty)$; 3) Нули: $x = 6 \pm 2\sqrt{6}$; 4) $y>0$ на $(-\infty; 6 - 2\sqrt{6}) \cup (6 + 2\sqrt{6}; +\infty)$, $y<0$ на $(6 - 2\sqrt{6}; 6 + 2\sqrt{6})$; 5) Убывает на $(-\infty; 6]$, возрастает на $[6; +\infty)$; 6) Точка минимума $(6, -8)$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Построение графика.

Коэффициенты: $a = -\frac{1}{4}$, $b = 1$, $c = -1$.

Так как $a = -\frac{1}{4} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$.

$y_0 = -\frac{1}{4}(2)^2 + 2 - 1 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 2 - 1 = -1 + 1 = 0$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью $Oy$: $x=0$, $y = -\frac{1}{4}(0)^2 + 0 - 1 = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.

С осью $Ox$: $y=0$, $-\frac{1}{4}x^2 + x - 1 = 0$. Умножим на -4: $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Это полный квадрат: $(x-2)^2 = 0$, откуда $x = 2$.

Парабола имеет одну точку пересечения с осью $Ox$, которая совпадает с вершиной $(2, 0)$.

Найдем дополнительные точки. Воспользуемся симметрией относительно оси $x=2$.

Точка $(0, -1)$ симметрична точке $(4, -1)$.

При $x=-2$: $y = -\frac{1}{4}(-2)^2 + (-2) - 1 = -1 - 2 - 1 = -4$. Точка $(-2, -4)$. Симметричная ей точка $(6, -4)$.

Построим параболу по точкам: $(2, 0)$ (вершина), $(0, -1)$, $(4, -1)$, $(-2, -4)$, $(6, -4)$.

2. Свойства функции.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$, так как ветви направлены вниз, а $y_0 = 0$.

3. Нули функции: $x = 2$.

4. Промежутки знакопостоянства:

$y < 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

$y > 0$ — нет таких значений $x$.

$y = 0$ при $x=2$.

5. Промежутки монотонности:

Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$.

Функция убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

6. Экстремумы: точка максимума $(2, 0)$. $y_{max} = 0$ при $x = 2$.

Ответ: Свойства функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1$: 1) Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$; 2) Область значений $E(y): (-\infty; 0]$; 3) Нуль: $x = 2$; 4) $y < 0$ на $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; 5) Возрастает на $(-\infty; 2]$, убывает на $[2; +\infty)$; 6) Точка максимума $(2, 0)$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Построение графика.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 3$, $c = 0$.

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.

$y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$.

Вершина параболы находится в точке $(-1.5, -2.25)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1.5$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

С осью $Oy$: $x=0$, $y = 0^2 + 3 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$ (начало координат).

С осью $Ox$: $y=0$, $x^2 + 3x = 0$.

$x(x+3) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

Точки пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$ и $(-3, 0)$.

Найдем дополнительные точки. Воспользуемся симметрией относительно оси $x=-1.5$.

При $x=1$: $y = 1^2 + 3 \cdot 1 = 4$. Точка $(1, 4)$.

Симметричная ей точка относительно $x=-1.5$: $x' = -1.5 - (1 - (-1.5)) = -1.5 - 2.5 = -4$. Точка $(-4, 4)$.

Построим параболу по точкам: $(-1.5, -2.25)$ (вершина), $(0, 0)$, $(-3, 0)$, $(1, 4)$, $(-4, 4)$.

2. Свойства функции.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-2.25; +\infty)$, так как ветви направлены вверх, а $y_0 = -2.25$.

3. Нули функции: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства:

$y > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$.

$y < 0$ при $x \in (-3; 0)$.

5. Промежутки монотонности:

Функция убывает на промежутке $(-\infty; -1.5]$.

Функция возрастает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.

6. Экстремумы: точка минимума $(-1.5, -2.25)$. $y_{min} = -2.25$ при $x = -1.5$.

Ответ: Свойства функции $y = x^2 + 3x$: 1) Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$; 2) Область значений $E(y): [-2.25; +\infty)$; 3) Нули: $x = -3$, $x=0$; 4) $y > 0$ на $(-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$, $y < 0$ на $(-3; 0)$; 5) Убывает на $(-\infty; -1.5]$, возрастает на $[-1.5; +\infty)$; 6) Точка минимума $(-1.5, -2.25)$.