Номер 130, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

130. При каком значении $n$ графики функций $y = 2x^2 - 5x + 6$ и $y = x^2 - 7x + n$ имеют только одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

Чтобы найти общие точки графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части. Общие точки — это точки, в которых координаты $(x, y)$ совпадают для обеих функций.

Даны функции: $y = 2x^2 - 5x + 6$ и $y = x^2 - 7x + n$.

Приравниваем выражения для $y$: $2x^2 - 5x + 6 = x^2 - 7x + n$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $(2x^2 - x^2) + (-5x + 7x) + (6 - n) = 0$ $x^2 + 2x + (6 - n) = 0$

Графики функций имеют только одну общую точку, если полученное квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант $D$ этого уравнения равен нулю.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения $x^2 + 2x + (6 - n) = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 2$, $c = 6 - n$.

Вычисляем дискриминант и приравниваем его к нулю: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 - n) = 0$ $4 - 4(6 - n) = 0$ $4 - 24 + 4n = 0$ $-20 + 4n = 0$ $4n = 20$ $n = 5$

Ответ: $n=5$.

Теперь, когда мы нашли, что $n=5$, мы можем найти корень квадратного уравнения $x^2 + 2x + (6 - 5) = 0$, то есть $x^2 + 2x + 1 = 0$. Этот корень будет абсциссой (координатой $x$) общей точки.

При $D=0$ корень находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$. Подставляем значения $a=1$ и $b=2$: $x = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1$

Чтобы найти ординату (координату $y$) общей точки, подставим найденное значение $x = -1$ в уравнение любой из двух исходных функций. Возьмем первую функцию $y = 2x^2 - 5x + 6$: $y = 2(-1)^2 - 5(-1) + 6$ $y = 2(1) + 5 + 6$ $y = 13$

Для проверки можно подставить $x = -1$ и $n = 5$ во вторую функцию $y = x^2 - 7x + n$: $y = (-1)^2 - 7(-1) + 5 = 1 + 7 + 5 = 13$

Координаты общей точки найдены верно.

Ответ: $(-1, 13)$.