Номер 126, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

126. Постройте график функции:

а) $y = 0.5x^2 - 2;$

б) $y = x^2 - 4x + 4;$

в) $y = -x^2 + 2x.$

а) $y = 0,5x^2 - 2$

Графиком данной функции является парабола. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 0,5$, $b = 0$, $c = -2$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a = 0,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. $x_в = -\frac{0}{2 \cdot 0,5} = 0$. Ординату вершины найдем, подставив значение $x_в$ в уравнение функции: $y_в = 0,5 \cdot (0)^2 - 2 = -2$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0$ (ось Oy).

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат. С осью Oy (y-перехват): подставим $x=0$. $y = 0,5 \cdot 0^2 - 2 = -2$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, -2)$, что совпадает с вершиной. С осью Ox (нули функции): подставим $y=0$. $0,5x^2 - 2 = 0$, что равносильно $0,5x^2 = 2$, или $x^2 = 4$. Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = -2$. Точки пересечения с осью Ox — $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

4. Для более точного построения найдем несколько дополнительных точек. Составим таблицу значений.

5. Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(0, -2)$, точки пересечения с осями $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, а также дополнительные точки, например, $(-1, -1,5)$ и $(1, -1,5)$. Затем соединить эти точки плавной линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

б) $y = x^2 - 4x + 4$

Графиком данной функции является парабола. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы. Можно заметить, что выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности: $(x-2)^2$. Таким образом, функция имеет вид $y = (x-2)^2$. Это график стандартной параболы $y=x^2$, смещенный на 2 единицы вправо. Вершина такой параболы находится в точке $(2, 0)$. Ось симметрии — прямая $x=2$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат. С осью Ox: при $y=0$ имеем $(x-2)^2 = 0$, откуда $x=2$. Парабола имеет одну общую точку с осью Ox — $(2, 0)$, которая является ее вершиной. С осью Oy: при $x=0$ имеем $y = (0-2)^2 = 4$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, 4)$.

4. Для построения найдем несколько дополнительных точек. Используем симметрию относительно оси $x=2$.

5. Для построения графика нужно отметить вершину $(2, 0)$, точку пересечения с осью Oy $(0, 4)$ и симметричную ей точку $(4, 4)$, а также точки $(1, 1)$ и $(3, 1)$. Затем соединить их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх. Парабола касается оси Ox в своей вершине и пересекает ось Oy в точке $(0, 4)$.

в) $y = -x^2 + 2x$

Графиком данной функции является парабола. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -1$, $b = 2$, $c = 0$.

1. Определим направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$. $y_в = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$. Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат. С осью Ox: при $y=0$ имеем $-x^2 + 2x = 0$, или $-x(x - 2) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения с осью Ox — $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Пересечение с осью Oy происходит при $x=0$, что дает $y=0$. Точка $(0, 0)$.

4. У нас уже есть три ключевые точки: вершина $(1, 1)$ и нули $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Найдем еще пару симметричных точек для точности.

Расчеты: при $x=-1$, $y = -(-1)^2 + 2(-1) = -1 - 2 = -3$. По симметрии, при $x=3$ (симметрично $x=-1$ относительно $x=1$) будет такое же значение $y=-3$.

5. Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(1, 1)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$, а также дополнительные точки $(-1, -3)$ и $(3, -3)$. Затем соединить их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 1)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.