Номер 122, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

122. Постройте график функции $y = -x^2 + 2x + 8$ и найдите, используя график:

а) значение функции при $x = 2,5; -0,5; -3;$

б) значения аргумента, при которых $y = 6; 0; -2;$

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

Для построения графика функции $y = -x^2 + 2x + 8$ и анализа ее свойств, выполним несколько шагов.

1. Определение основных характеристик параболы.

Функция $y = -x^2 + 2x + 8$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1 < 0$), ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины параболы.

Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам:
$x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{2}{2 \cdot (-1)} = - \frac{2}{-2} = 1$.
$y_v = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (x=0):
$y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.

Пересечение с осью Ox (y=0, нули функции):
Решим уравнение $-x^2 + 2x + 8 = 0$.
Умножим на -1: $x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:
$x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Точки пересечения — $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Построение графика.

Для большей точности найдем еще несколько точек. Используя симметрию относительно оси $x=1$:
Точке $(0, 8)$ симметрична точка $(2, 8)$.
При $x = -1$: $y = -(-1)^2 + 2(-1) + 8 = -1 - 2 + 8 = 5$. Точка $(-1, 5)$.
Точке $(-1, 5)$ симметрична точка $(3, 5)$.
При $x = -3$: $y = -(-3)^2 + 2(-3) + 8 = -9 - 6 + 8 = -7$. Точка $(-3, -7)$.
Точке $(-3, -7)$ симметрична точка $(5, -7)$.

Используя точки: $(-3, -7)$, $(-2, 0)$, $(-1, 5)$, $(0, 8)$, $(1, 9)$ (вершина), $(2, 8)$, $(3, 5)$, $(4, 0)$, $(5, -7)$, строим параболу.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы задачи.

а) значение функции при $x = 2,5; -0,5; -3;$

Находим на оси $x$ заданные значения, проводим вертикальные линии до пересечения с графиком и определяем соответствующее значение $y$ на оси ординат.
- при $x = 2,5$, значение $y$ на графике находится между 5 и 8. Расчет дает: $y = -(2,5)^2 + 2(2,5) + 8 = -6,25 + 5 + 8 = 6,75$.
- при $x = -0,5$, значение $y$ на графике также находится между 5 и 8. Расчет дает: $y = -(-0,5)^2 + 2(-0,5) + 8 = -0,25 - 1 + 8 = 6,75$.
- при $x = -3$, из графика видно, что $y = -7$.
Ответ: при $x = 2,5, y = 6,75$; при $x = -0,5, y = 6,75$; при $x = -3, y = -7$.

б) значения аргумента, при которых $y = 6; 0; -2;$

Находим на оси $y$ заданные значения, проводим горизонтальные линии до пересечения с графиком и определяем соответствующие значения $x$ на оси абсцисс.
- при $y = 6$, прямая пересекает параболу в двух точках. Их абсциссы приблизительно равны $x \approx -0,7$ и $x \approx 2,7$.
- при $y = 0$, точки пересечения — это нули функции. Из графика видно, что $x = -2$ и $x = 4$.
- при $y = -2$, прямая пересекает параболу в двух точках. Их абсциссы приблизительно равны $x \approx -2,3$ и $x \approx 4,3$.
Ответ: $y=6$ при $x \approx -0,7$ и $x \approx 2,7$; $y=0$ при $x=-2$ и $x=4$; $y=-2$ при $x \approx -2,3$ и $x \approx 4,3$.

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Это точки пересечения графика с осью $Ox$.
Нули функции: $x = -2$ и $x = 4$.

Промежутки знакопостоянства — это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
- Функция положительна ($y > 0$) там, где график находится выше оси $Ox$. Это происходит между нулями функции: при $x \in (-2, 4)$.
- Функция отрицательна ($y < 0$) там, где график находится ниже оси $Ox$. Это происходит левее $x=-2$ и правее $x=4$: при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.
Ответ: нули функции: $x_1 = -2, x_2 = 4$; $y > 0$ при $x \in (-2, 4)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.

г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

Вершина параболы $(1, 9)$ является точкой максимума.
Промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает на промежутке, где график "идет вверх" (слева направо). Это происходит до вершины: на промежутке $(-\infty, 1]$.
- Функция убывает на промежутке, где график "идет вниз". Это происходит после вершины: на промежутке $[1, \infty)$.

Область значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Так как вершина $(1, 9)$ является точкой максимума и ветви параболы направлены вниз, функция принимает значения от $-\infty$ до $9$ включительно.
Область значений: $E(y) = (-\infty, 9]$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty, 1]$, убывает на $[1, \infty)$; область значений функции: $(-\infty, 9]$.