Номер 128, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Рис. 35

128. Выясните, график какой из функций

$y = x^2 + 6x, y = \frac{1}{2}x^2 - 3x, y = -x^2 - 6$

изображён на рисунке 35.

Рис. 35

Для того чтобы определить, график какой из функций изображён на рисунке, проанализируем свойства параболы на графике и сравним их со свойствами каждой из предложенных функций.

Сначала определим ключевые характеристики параболы на рисунке 35:

• Ветви параболы направлены вверх. Это означает, что коэффициент $a$ в уравнении $y = ax^2 + bx + c$ должен быть положительным ($a > 0$).
• Вершина параболы находится в точке с координатами $(3; -4.5)$.
• График пересекает ось ординат (ось y) в точке $(0; 0)$.
• График пересекает ось абсцисс (ось x) в точках $(0; 0)$ и $(6; 0)$.

Теперь поочерёдно проверим каждую из предложенных функций.

$y = x^2 + 6x$

Для этой функции коэффициент $a = 1$, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх, что соответствует графику. Однако найдём абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Абсцисса вершины на графике равна $3$, а не $-3$. Следовательно, эта функция не подходит.

$y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$

Для этой функции коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви направлены вверх, что соответствует графику. Найдём координаты вершины:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{-3}{1} = 3$.

Ордината вершины: $y_0 = \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) = \frac{9}{2} - 9 = 4.5 - 9 = -4.5$.

Координаты вершины $(3; -4.5)$ полностью совпадают с вершиной параболы на графике. Проверим также точки пересечения с осями. При $x=0$, $y=0$. При $y=0$, имеем уравнение $\frac{1}{2}x^2 - 3x = 0$, или $x(\frac{1}{2}x - 3) = 0$, откуда $x=0$ или $x=6$. Все ключевые точки совпадают. Эта функция подходит.

$y = -x^2 - 6$

Для этой функции коэффициент $a = -1$, что меньше нуля. Это означает, что ветви параболы должны быть направлены вниз. На рисунке же ветви направлены вверх. Следовательно, эта функция не подходит.

Таким образом, единственная функция, график которой соответствует изображению, — это $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$.

Ответ: На рисунке изображён график функции $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$.