Номер 133, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

133. Решите уравнение:

a) $(x - 1)^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2 - 2x + 2;$

б) $(2x - 3)(2x + 3) - 1 = 5x + (x - 2)^2.$

а)

Решим уравнение $(x - 1)^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2 - 2x + 2$.

Сначала раскроем все скобки, используя формулы сокращенного умножения: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$

Теперь сложим полученные выражения: $(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$

Теперь подставим это в правую часть: $(x^2 + 4x + 4) - 2x + 2 = x^2 + 2x + 6$.

Приравняем упрощенные левую и правую части:

$2x^2 + 2 = x^2 + 2x + 6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - x^2 - 2x + 2 - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = -4$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

$x = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{5}$.

Ответ: $1 \pm \sqrt{5}$.

б)

Решим уравнение $(2x - 3)(2x + 3) - 1 = 5x + (x - 2)^2$.

Используем формулы сокращенного умножения для раскрытия скобок: разность квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ и квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В левой части применяем формулу разности квадратов:

$(2x - 3)(2x + 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$.

Тогда левая часть уравнения принимает вид: $(4x^2 - 9) - 1 = 4x^2 - 10$.

В правой части раскрываем квадрат разности:

$(x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$.

Тогда правая часть уравнения принимает вид: $5x + (x^2 - 4x + 4) = x^2 + x + 4$.

Приравняем упрощенные части уравнения:

$4x^2 - 10 = x^2 + x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - x^2 - x - 10 - 4 = 0$

$3x^2 - x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -1$, $c = -14$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169$.

Так как $D = 169 = 13^2 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 13}{6}$.

Вычислим каждый корень:

$x_1 = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.

$x_2 = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Ответ: $-2; \frac{7}{3}$.