Номер 4, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

4 Что представляет собой график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$? На примере функции $y = 2x^2 - 12x + 16$ покажите, как строят график квадратичной функции.

Что представляет собой график квадратичной функции y = ax² + bx + c?

График квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$) представляет собой кривую, которая называется параболой. Основные свойства этой параболы определяются коэффициентами $a, b$ и $c$.

1. Направление ветвей параболы зависит от знака старшего коэффициента $a$.
- Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет точку минимума.
- Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет точку максимума.

2. Вершина параболы — это точка минимума или максимума функции. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + bx_0 + c$
Прямая $x = x_0$ является осью симметрии параболы.

3. Точка пересечения с осью ординат (Oy). График пересекает ось Oy при $x=0$. Координаты этой точки — $(0, c)$, так как $y(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$.

4. Точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Это точки, в которых $y=0$. Их находят, решая квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Количество точек пересечения (две, одна или ни одной) зависит от дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Ответ: График квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ — это парабола. Направление ее ветвей зависит от знака коэффициента $a$ (вверх при $a > 0$, вниз при $a < 0$), а точка $(0, c)$ является точкой пересечения с осью Oy. Ключевой точкой графика является вершина, относительно которой парабола симметрична.

На примере функции y = 2x² - 12x + 16 покажите, как строят график квадратичной функции.

Для построения графика функции $y = 2x^2 - 12x + 16$ выполним следующие шаги:

1. Определение направления ветвей.
Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Коэффициенты функции: $a = 2, b = -12, c = 16$.
Находим абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Находим ординату вершины, подставив $x_0 = 3$ в уравнение функции:
$y_0 = 2(3)^2 - 12(3) + 16 = 2 \cdot 9 - 36 + 16 = 18 - 36 + 16 = -2$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=3$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
С осью Oy: подставляем $x = 0$ в уравнение.
$y = 2(0)^2 - 12(0) + 16 = 16$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 16)$.
С осью Ox: подставляем $y = 0$ и решаем квадратное уравнение $2x^2 - 12x + 16 = 0$.
Для удобства разделим все члены уравнения на 2:
$x^2 - 6x + 8 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек.
Для более точного построения найдем еще несколько точек. Удобно использовать симметрию относительно оси $x = 3$.
У нас есть точка $(0, 16)$. Найдем симметричную ей точку. Расстояние от $x=0$ до оси симметрии $x=3$ равно 3. Откладываем такое же расстояние в другую сторону: $3 + 3 = 6$. Значит, симметричная точка имеет координаты $(6, 16)$.
Возьмем еще одну точку, например, при $x=1$:
$y = 2(1)^2 - 12(1) + 16 = 2 - 12 + 16 = 6$.
Получили точку $(1, 6)$. Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $3 + (3-1) = 5$. Координаты симметричной точки: $(5, 6)$.

5. Построение графика.
Отмечаем на координатной плоскости все найденные точки: вершину $(3, -2)$, точки пересечения с осями $(0, 16)$, $(2, 0)$, $(4, 0)$ и дополнительные точки $(1, 6)$, $(5, 6)$, $(6, 16)$. Соединяем эти точки плавной линией, получая параболу.

Ответ: Для построения графика функции $y = 2x^2 - 12x + 16$ необходимо последовательно найти: 1) направление ветвей (вверх, так как $a=2>0$); 2) координаты вершины параболы: $(3, -2)$; 3) точки пересечения с осями координат: $(0, 16)$, $(2, 0)$ и $(4, 0)$; 4) несколько дополнительных точек, используя симметрию, например, $(1, 6)$ и $(5, 6)$. После этого точки наносят на координатную плоскость и соединяют плавной кривой (параболой).