Номер 3, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

3 Как из графика функции $y = ax^2$ можно получить график функ-ции:

а) $y = ax^2 + n$;

б) $y = a(x - m)^2$;

в) $y = a(x - m)^2 + n$?

Для преобразования графика функции $y = ax^2$ в графики других функций используются геометрические преобразования, в основном — параллельные переносы (сдвиги).

Чтобы получить график функции $y = ax^2 + n$ из графика функции $y = ax^2$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика вдоль оси ординат (оси $Oy$).

Рассмотрим любую точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = ax^2$. Для неё выполняется равенство $y_0 = ax_0^2$. Для нового графика $y = ax^2 + n$ при том же значении абсциссы $x_0$ ордината будет равна $y_{new} = ax_0^2 + n = y_0 + n$. Это означает, что каждая точка исходного графика смещается на $n$ единиц по вертикали.

• Если $n > 0$, то сдвиг происходит вверх на $n$ единиц.
• Если $n < 0$, то сдвиг происходит вниз на $|n|$ единиц.

Таким образом, график функции $y = ax^2 + n$ — это та же парабола $y=ax^2$, но смещенная вдоль оси $Oy$.

Ответ: График функции $y = ax^2 + n$ можно получить из графика функции $y = ax^2$ с помощью параллельного переноса вдоль оси $Oy$ на $n$ единиц вверх, если $n > 0$, или на $|n|$ единиц вниз, если $n < 0$.

Чтобы получить график функции $y = a(x - m)^2$ из графика функции $y = ax^2$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика вдоль оси абсцисс (оси $Ox$).

Рассмотрим точку $(x_0, y_0)$ на графике $y = ax^2$, то есть $y_0 = ax_0^2$. На новом графике $y = a(x - m)^2$ то же значение ординаты $y_0$ будет достигаться при такой абсциссе $x_{new}$, что $a(x_{new} - m)^2 = y_0 = ax_0^2$. Отсюда следует, что $(x_{new} - m)^2 = x_0^2$, или $x_{new} - m = x_0$, что дает $x_{new} = x_0 + m$. Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика смещается в точку $(x_0 + m, y_0)$, то есть происходит сдвиг на $m$ единиц по горизонтали.

• Если $m > 0$, то сдвиг происходит вправо на $m$ единиц.
• Если $m < 0$, то сдвиг происходит влево на $|m|$ единиц.

Таким образом, график функции $y = a(x-m)^2$ — это та же парабола $y=ax^2$, но смещенная вдоль оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = a(x - m)^2$ можно получить из графика функции $y = ax^2$ с помощью параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на $m$ единиц вправо, если $m > 0$, или на $|m|$ единиц влево, если $m < 0$.

Чтобы получить график функции $y = a(x - m)^2 + n$ из графика функции $y = ax^2$, необходимо выполнить последовательно два параллельных переноса: один вдоль оси абсцисс ($Ox$) и другой вдоль оси ординат ($Oy$). Это является комбинацией преобразований, описанных в пунктах а) и б).

Преобразование можно выполнить в два шага:

1. Сначала сдвигаем график $y = ax^2$ вдоль оси $Ox$ на $m$ единиц (вправо при $m>0$, влево при $m<0$). В результате получаем график функции $y = a(x - m)^2$.
2. Затем сдвигаем полученный график $y = a(x - m)^2$ вдоль оси $Oy$ на $n$ единиц (вверх при $n>0$, вниз при $n<0$). В результате получаем искомый график функции $y = a(x - m)^2 + n$.

Комбинация этих двух сдвигов представляет собой один параллельный перенос на вектор $(m, n)$. Вершина параболы $y = ax^2$, которая находилась в начале координат, точке $(0, 0)$, перемещается в точку $(m, n)$.

Ответ: График функции $y = a(x - m)^2 + n$ можно получить из графика функции $y = ax^2$ с помощью параллельного переноса, при котором вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(m, n)$. Это эквивалентно сдвигу на $m$ единиц вдоль оси $Ox$ и на $n$ единиц вдоль оси $Oy$.