Номер 2, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Сформулируйте свойства квадратичной функции $y = ax^2$:

а) при $a > 0$;

б) при $a < 0$.

Квадратичная функция вида $y = ax^2$ является частным случаем квадратичной функции. Ее график — парабола с вершиной в начале координат. Свойства этой функции зависят от знака коэффициента $a$.

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений функции — множество всех неотрицательных чисел: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$ только при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0; 0)$.
4. Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
5. График — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Наибольшего значения у функции нет.
8. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: При $a > 0$ график функции $y = ax^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Функция четная, определена для всех $x$, принимает только неотрицательные значения. Убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений функции — множество всех неположительных чисел: $E(y) = (-\infty; 0]$.
3. Нули функции: $y=0$ только при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0; 0)$.
4. Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
5. График — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 0$. Наименьшего значения у функции нет.
8. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: При $a < 0$ график функции $y = ax^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз. Функция четная, определена для всех $x$, принимает только неположительные значения. Возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.