Номер 138, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

138. Функция задана формулой $f(x) = x^{20}$. Сравните:

а) $f(3.7)$ и $f(4.2)$;

б) $f(-5.2)$ и $f(-6.5)$;

в) $f(-7)$ и $f(6)$;

г) $f(31)$ и $f(-28)$.

Функция задана формулой $f(x) = x^{20}$. Так как показатель степени 20 является четным числом, данная функция является четной. Это значит, что $f(-x) = (-x)^{20} = x^{20} = f(x)$ для любого значения $x$. График такой функции симметричен относительно оси ординат.

Также важно проанализировать монотонность функции:

• На промежутке $[0; +\infty)$ функция $f(x) = x^{20}$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.
• На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $f(x) = x^{20}$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Используем эти свойства для сравнения.

а) Сравнить $f(3,7)$ и $f(4,2)$.

Аргументы $x_1 = 3,7$ и $x_2 = 4,2$ оба положительны, то есть принадлежат промежутку возрастания функции $[0; +\infty)$.
Так как $3,7 < 4,2$, то и значения функции будут в таком же соотношении: $f(3,7) < f(4,2)$.
Проверка: $3,7^{20} < 4,2^{20}$.
Ответ: $f(3,7) < f(4,2)$.

б) Сравнить $f(-5,2)$ и $f(-6,5)$.

Аргументы $x_1 = -6,5$ и $x_2 = -5,2$ оба отрицательны, то есть принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; 0]$.
Так как $-6,5 < -5,2$, то для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-6,5) > f(-5,2)$.
Проверка: $(-6,5)^{20} > (-5,2)^{20}$, так как $6,5^{20} > 5,2^{20}$.
Ответ: $f(-5,2) < f(-6,5)$.

в) Сравнить $f(-7)$ и $f(6)$.

Поскольку функция $f(x) = x^{20}$ является четной, мы можем записать: $f(-7) = (-7)^{20} = 7^{20} = f(7)$.
Теперь задача сводится к сравнению $f(7)$ и $f(6)$.
Аргументы $x_1=7$ и $x_2=6$ принадлежат промежутку возрастания $[0; +\infty)$.
Так как $7 > 6$, то $f(7) > f(6)$.
Следовательно, $f(-7) > f(6)$.
Ответ: $f(-7) > f(6)$.

г) Сравнить $f(31)$ и $f(-28)$.

Используем свойство четности функции: $f(-28) = (-28)^{20} = 28^{20} = f(28)$.
Теперь нам нужно сравнить $f(31)$ и $f(28)$.
Аргументы $x_1=31$ и $x_2=28$ принадлежат промежутку возрастания $[0; +\infty)$.
Так как $31 > 28$, то $f(31) > f(28)$.
Соответственно, $f(31) > f(-28)$.
Ответ: $f(31) > f(-28)$.