Номер 145, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

145. Изобразите схематически график функции:

а) $y = x^6$;

б) $y = x^7$;

В) $y = x^8$;

Г) $y = x^9$.

Для построения схематических графиков степенных функций вида $y = x^n$ необходимо проанализировать их основные свойства, которые зависят от четности показателя степени $n$.

Рассмотрим функцию $y=x^6$. Это степенная функция с натуральным показателем $n=6$. Поскольку показатель степени — четное число, функция является четной ($y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$), и ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), а область значений — неотрицательные числа ($E(y) = [0; +\infty)$), так как любое число в четной степени неотрицательно. График проходит через ключевые точки: $(0, 0)$, которая является точкой минимума, а также через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Функция убывает при $x \in (-\infty, 0]$ и возрастает при $x \in [0, +\infty)$. Схематически график представляет собой U-образную кривую, расположенную в I и II координатных четвертях. По сравнению с параболой $y=x^2$, эта кривая более плоская вблизи начала координат (в интервале $(-1, 1)$) и растет круче при $|x|>1$.

Ответ: Схематический график функции $y=x^6$ — это U-образная кривая, симметричная относительно оси Oy, с вершиной (точкой минимума) в начале координат $(0,0)$. Ветви направлены вверх, график проходит через точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Рассмотрим функцию $y=x^7$. Это степенная функция с натуральным показателем $n=7$. Поскольку показатель степени — нечетное число, функция является нечетной ($y(-x) = (-x)^7 = -x^7 = -y(x)$), и ее график симметричен относительно начала координат $(0,0)$. Область определения и область значений — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; +\infty)$). График проходит через ключевые точки: $(0, 0)$, которая является точкой перегиба, а также через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$. Функция монотонно возрастает на всей своей области определения. Схематически график представляет собой кривую, похожую на кубическую параболу $y=x^3$, расположенную в I и III координатных четвертях. Вблизи начала координат (в интервале $(-1, 1)$) кривая более плоская и прижата к оси Ox, а при $|x|>1$ она уходит в бесконечность круче, чем $y=x^3$.

Ответ: Схематический график функции $y=x^7$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. График расположен в I и III координатных четвертях и является монотонно возрастающим.

Рассмотрим функцию $y=x^8$. Это степенная функция с четным показателем $n=8$, поэтому ее свойства аналогичны свойствам функции $y=x^6$. Функция является четной ($y(-x) = (-x)^8 = x^8 = y(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений — $E(y) = [0; +\infty)$. График проходит через точки $(0, 0)$ (минимум), $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. Схематически график — это U-образная кривая в I и II четвертях. По сравнению с графиком $y=x^6$, график $y=x^8$ еще более плоский в интервале $(-1, 1)$ и еще круче устремляется вверх при $|x|>1$.

Ответ: Схематический график функции $y=x^8$ — это U-образная кривая, симметричная относительно оси Oy, с вершиной в точке $(0,0)$. Ветви направлены вверх. График проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ и является более "плоским" у дна и "крутым" на ветвях по сравнению с $y=x^6$.

Рассмотрим функцию $y=x^9$. Это степенная функция с нечетным показателем $n=9$, поэтому ее свойства аналогичны свойствам функции $y=x^7$. Функция является нечетной ($y(-x) = (-x)^9 = -x^9 = -y(x)$), ее график симметричен относительно начала координат. Область определения и область значений — все действительные числа. График проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ (точка перегиба) и $(1, 1)$. Функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Схематически график — это кривая в I и III четвертях, похожая на $y=x^7$. По сравнению с $y=x^7$, график $y=x^9$ еще более плоский в интервале $(-1, 1)$ и еще круче уходит в бесконечность при $|x|>1$.

Ответ: Схематический график функции $y=x^9$ — это монотонно возрастающая кривая, симметричная относительно начала координат. График расположен в I и III координатных четвертях и проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. По сравнению с $y=x^7$, кривая более "сплюснута" к оси Ox на интервале $(-1, 1)$ и растет быстрее при $|x|>1$.