Номер 147, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

147. Пользуясь рисунком 38 или 40, выясните, сколько решений имеет уравнение:

а) $x^{16} = 2;$
б) $x^{34} = 0;$
в) $x^8 = -3;$
г) $x^{21} = -7.$

Для определения количества решений уравнений вида $x^n = a$ используется анализ свойств степенной функции $y=x^n$ и ее графика. Количество решений равно количеству точек пересечения графика функции $y=x^n$ и горизонтальной прямой $y=a$.

а) $x^{16} = 2$

В данном уравнении показатель степени $n=16$ является четным числом, а правая часть $a=2$ — положительным числом. Функция $y=x^{16}$ является четной, ее график симметричен относительно оси ординат и расположен в верхней полуплоскости (область значений $[0; +\infty)$). Прямая $y=2$ — это горизонтальная линия, проходящая выше оси абсцисс. Так как $a > 0$, эта прямая пересечет график функции $y=x^{16}$ в двух точках, симметричных относительно оси $y$. Следовательно, уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[16]{2}$ и $x_2 = -\sqrt[16]{2}$.

Ответ: 2 решения.

б) $x^{34} = 0$

Здесь показатель степени $n=34$ — четное число, а правая часть $a=0$. График функции $y=x^{34}$ касается оси абсцисс ($y=0$) в единственной точке — начале координат $(0,0)$. Таким образом, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: 1 решение.

в) $x^8 = -3$

Показатель степени $n=8$ — четное число. Значение выражения $x^8$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^8 \ge 0$. Правая часть уравнения $a=-3$ — отрицательное число. Неравенство $x^8 = -3$ не может быть выполнено ни при каком действительном значении $x$. Графически, прямая $y=-3$ расположена ниже оси абсцисс и не имеет точек пересечения с графиком функции $y=x^8$, который целиком находится в верхней полуплоскости.

Ответ: нет решений.

г) $x^{21} = -7$

В этом уравнении показатель степени $n=21$ — нечетное число. Функция $y=x^{21}$ является нечетной, ее область значений — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любого значения $a$ прямая $y=a$ пересечет график функции $y=x^{21}$ ровно в одной точке. В данном случае прямая $y=-7$ пересекает график в одной точке, абсцисса которой является единственным решением уравнения $x = \sqrt[21]{-7}$.

Ответ: 1 решение.