Номер 154, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

154. Выразите формулой зависимость массы $m$ (г) деревянного куба от длины $x$ (см) его ребра, если известно, что куб, ребро которого 10 см, имеет массу 700 г. Постройте график этой зависимости. Пользуясь графиком, найдите:

а) массу куба, ребро которого равно 2 см; 5 см;

б) ребро куба, масса которого равна 30 г; 100 г.

Сначала выведем формулу зависимости массы $m$ от длины ребра $x$. Масса любого однородного тела равна произведению его объема $V$ на плотность материала $\rho$:

$m = \rho \cdot V$

Объем куба с ребром $x$ вычисляется по формуле:

$V = x^3$

Подставив выражение для объема в формулу массы, получим зависимость массы куба от длины его ребра:

$m(x) = \rho \cdot x^3$

Нам известно, что куб из этого же дерева с ребром $x = 10$ см имеет массу $m = 700$ г. Используем эти данные для нахождения плотности дерева $\rho$:

$700 = \rho \cdot (10)^3$

$700 = \rho \cdot 1000$

$\rho = \frac{700}{1000} = 0.7$ г/см³

Таким образом, искомая формула зависимости массы куба от длины его ребра:

$m(x) = 0.7x^3$

Теперь построим график этой зависимости. Это функция вида $y=kx^3$, графиком которой является кубическая парабола. Так как длина ребра $x$ не может быть отрицательной, мы рассматриваем график только при $x \ge 0$.

Составим таблицу значений для построения графика:

На координатной плоскости отложим по оси абсцисс длину ребра $x$ (в см), а по оси ординат — массу $m$ (в г). Отметив вычисленные точки и соединив их плавной кривой, получим график функции. График начинается в точке (0, 0) и плавно возрастает.

Теперь, пользуясь графиком, ответим на вопросы.

а) Чтобы найти массу куба, ребро которого равно 2 см, нужно на оси $x$ найти значение 2, подняться от него вертикально до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения двигаться горизонтально до оси $m$. По графику видно, что при $x = 2$ см масса $m \approx 5.6$ г.

Аналогично для ребра, равного 5 см: находим на оси $x$ значение 5 и определяем по графику соответствующую массу. При $x = 5$ см масса $m \approx 87.5$ г.

Проверка по формуле:

$m(2) = 0.7 \cdot 2^3 = 0.7 \cdot 8 = 5.6$ г.

$m(5) = 0.7 \cdot 5^3 = 0.7 \cdot 125 = 87.5$ г.

Ответ: при ребре 2 см масса куба равна 5.6 г; при ребре 5 см — 87.5 г.

б) Чтобы найти ребро куба, масса которого равна 30 г, нужно на оси $m$ найти значение 30, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения опуститься вертикально на ось $x$. По графику видно, что при $m = 30$ г длина ребра $x \approx 3.5$ см.

Аналогично для массы 100 г: находим на оси $m$ значение 100 и определяем по графику соответствующую длину ребра. При $m = 100$ г длина ребра $x \approx 5.2$ см.

Проверка по формуле:

$30 = 0.7 \cdot x^3 \Rightarrow x^3 = \frac{30}{0.7} \approx 42.86 \Rightarrow x = \sqrt[3]{42.86} \approx 3.5$ см.

$100 = 0.7 \cdot x^3 \Rightarrow x^3 = \frac{100}{0.7} \approx 142.86 \Rightarrow x = \sqrt[3]{142.86} \approx 5.23$ см.

Ответ: при массе 30 г ребро куба равно примерно 3.5 см; при массе 100 г — примерно 5.2 см.